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Wie du Figuren zentrisch streckst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Figuren zentrisch streckst

Aufgabe

Von einem Dreieck sind folgende Größen gegeben:

\(c=4{,}5\,\text{cm}\), \(b=6\,\text{cm}\) und \(\beta=64°\).

Bilde das Dreieck \(ABC\) durch eine zentrische Streckung so ab, dass das Bilddreieck \( A'B'C'\) den vierfachen Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) besitzt.

Schritt 1: Streckfaktor k bestimmen

Wird eine Figur mit Streckfaktor \(k\) zentrisch gestreckt, so sind alle Bildstrecken \(k\)-mal so lang wie die ursprünglichen Strecken und die Fläche \(k^2\)-mal so groß wie die ursprüngliche Fläche. Das kannst du dir am besten an einem Quadrat der Seitenlänge 1 veranschaulichen: Jede Seite wird auf die \(k\)-fache Länge gestreckt, also hat das neue Quadrat den Flächeninhalt \(k^2\).

Du sollst eine zentrische Streckung so ausführen, dass die Fläche vervierfacht wird. Für den Streckfaktor \(k\) muss also gelten: \( k^2=4\). Sonst macht die Aufgabenstellung keine Vorgaben, du kannst also frei zwischen \(k=2\) und \(k=-2\) wählen und du kannst auch das Steckzentrum frei wählen.

Schritt 2: Konstruktion durchführen

Zuerst musst du aber das ursprüngliche Dreieck \(ABC\) konstruieren. Das geht mit Zirkel und Geodreieck wie folgt:

Du zeichnest die Seite \(\overline{AB} \) der Länge \(4{,}5\,\text{cm}\), trägst in \(B \) den Winkel \(\beta=64°\) ab und schlägst um \(A \) einen Kreisbogen mit dem Radius \(6\ cm\):

Wie du Figuren zentrisch streckst - Abbildung 1

Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem schräg nach oben gerichteten Schenkel des Winkels \(\beta\) ist der Punkt \(C\):

Wie du Figuren zentrisch streckst - Abbildung 2

Jetzt hast du dein Dreieck, das du zentrisch strecken musst. Das geht am leichtesten, wenn du als Streckzentrum eine der Ecken des Dreiecks wählst. Wir wählen den Punkt \(A\) als Streckzentrum.

Wir haben vorhin festgestellt, dass wir als Streckfaktor \( k=2 \) wählen können. Die Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{AC} \) müssen also verdoppelt werden. Zeichne also die Gerade durch \(A\) und \(B\) ein und zeichne um \(B\) einen Kreis mit Radius \(4,5\ cm\). Dieser Kreis hat zwei Schnittpunkte mit der Geraden \(AB\): Einer davon ist \(A\) und der andere ist \(B'\):

Wie du Figuren zentrisch streckst - Abbildung 3

Jetzt zeichnest du die Gerade \(AC\) und den Kreis um \(C \) mit Radius \(6\ cm\) ein. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Geraden \(AC\) sind \(A\) und \(C'\):

Wie du Figuren zentrisch streckst - Abbildung 4

Verbinden der Punkte \(B'\) und \(C'\) vervollständigt das gestreckte Dreieck:

Wie du Figuren zentrisch streckst - Abbildung 5

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