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Wie du fehlende Winkel in Vierecken berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du fehlende Winkel in Vierecken berechnest

Aufgabe

In einem Viereck mit dem Winkel \(\alpha=50^°\) ist der Winkel \(\gamma\) doppelt so groß wie der Winkel \(\beta\) und der Winkel \(\delta\) um 20° größer als der Winkel \(\alpha\).

Berechne die fehlenden Innenwinkel des Vierecks.

Schritt 1: Berechne die Winkelsumme im Viereck

Die Winkelsumme in einem Vieleck mit n Ecken kannst du mit der Formel

\(180^°\cdot(\color{green}n-2)\)

berechnen. Beim Viereck ist die Winkelsumme also:

\(180^°\cdot(\color{green}4-2)=180^°\cdot2=360^°\)

Schritt 2: Stell Gleichungen für die Winkel auf

Da die Winkelsumme im Viereck 360° beträgt, gilt:

\(\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^°\)

Außerdem weißt du, dass \(\gamma\) doppelt so groß wie \(\beta\) ist. Deshalb kannst du schreiben:

\(\gamma=2\beta\)

Den Winkel \(\delta\) kannst du gleich berechnen, da du weißt, dass er 20° größer als der gegebene Winkel \(\alpha\) ist.

\(\delta=50^°+20^°=70^°\)

Schritt 3: Löse die Gleichungen nach einem Winkel auf

In der Gleichung für die Winkelsumme

\(\color{purple}\alpha+\beta+\color{red}\gamma+\color{blue}\delta=360^°\)

kannst du den Wert von \(\color{purple}\alpha\) und den Wert von \(\color{blue}\delta\) einsetzen. Den Winkel \(\color{red}\gamma\) kannst du durch \(\color{red}{2\beta}\) ersetzen .

\(\color{purple}{50^°}+\beta+\color{red}{2\beta}+\color{blue}{70^°}=360^°\)

Jetzt kannst du die beiden Ausdrücke mit \(\beta\) zusammenfassen:

\(50^°+3\beta+70^°=360^°\)

und nach \(\beta\) auflösen.

\(120^°+3\beta=360^°~~~ |-120^°\)

\(3\beta=240^°~~~~~~~ |:3\)

\(\beta=80^°\)

Schritt 4: Bestimme die anderen Winkel

Nun fehlt dir nur noch der Winkel \(\gamma\).

Da \(\gamma=2\beta\) gilt, ist:

\(\gamma=2\cdot80^°=160^°\)

Damit sind jetzt alle Winkel bekannt.

Lösung

\(\beta=80^°\)
\(\gamma=160^°\)
\(\delta=70^°\)

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