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Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Kosinussatzes berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Kosinussatzes berechnest

Aufgabe

  1. Bestimme die Länge der dritten Seite des Dreiecks mit den folgenden gegebenen Größen:
    \(a = 6,4\ cm\), \(c = 3,9\ cm\)\(\beta=100^°\)
  2. Berechne das Winkelmaß des Winkels \(\alpha\) für ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen:
    \(a = 3\ cm\), \(b = 4\ cm\), \(c = 5\ cm\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

  1. Bestimme die Länge der dritten Seite des Dreiecks mit den folgenden gegebenen Größen:
    \(a = 6,4\ cm\), \(c = 3,9\ cm\)\(\beta=100^°\)

Schritt 1: Erstelle eine Planfigur des ersten Dreiecks

Zu Beginn erstellst du eine Planfigur. Damit hast du stets einen Überblick darüber, welche Größen bereits bekannt sind und welche du noch berechnen musst.

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Kosinussatzes berechnest - Abbildung 1

Schritt 2: Markiere gegebene Größen

Bei dieser Aufgabe hast du drei Größen vorgegeben, zwei Seiten, a und c, und den Winkel \(\beta\):

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Kosinussatzes berechnest - Abbildung 2

Schritt 3: Setze gegebene Werte in den Kosinussatz ein und berechne die fehlende Seite

Der Kosinussatz gilt für beliebige Dreiecke. Mit seiner Hilfe kann eine noch unbekannte Größe des Dreiecks berechnet werden, wenn drei andere Größen bekannt sind. Zur Berechnung einer Seite benötigt man die beiden anderen Seitenlängen und einen Winkel. Das sollte der sein, der der gesuchten Seite gegenüberliegt. Genau diesen Fall haben wir hier. Für Aufgabenteil a) stellst du den Kosinussatz also so auf, dass b berechnet wird. Denn das ist die gesuchte Seite.

\(\mbox{b}^2=\mbox{a}^2+\mbox{c}^2-2\mbox{ac}\cdot\cos(\beta)\)

Einsetzen liefert:

\(\mbox{b}^2 = 6,4^2 + 3,9^2 – 2\cdot6,4\cdot3,9\cdot\cos(100^°)\)

\(\mbox{b}^2 \approx 64,84\)

Wurzelziehen führt zu:

\(\mbox{b}\approx8,05\ cm\)

Eine negative Lösung ist nicht möglich, da du ja eine Länge berechnest.

Vermeide es, gerundete Werte zu benutzen, und speichere Zwischenergebnisse möglichst in deinem Taschenrechner. So werden deine Ergebnisse so exakt wie möglich.

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Berechne das Winkelmaß des Winkels \(\alpha\) für ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen:
\(a = 3\ cm\), \(b = 4\ cm\), \(c = 5\ cm\)

Schritt 1: Erstelle eine Planfigur des Dreiecks

Die Planfigur könnte so aussehen:

 - Abbildung 1

Schritt 2: Markiere gegebene Größen

Dieses Mal sind alle drei Seiten des Dreiecks gegeben.

 - Abbildung 1

Schritt 3: Setze gegebene Werte in den Kosinussatz ein und berechne den gesuchten Winkel

Theoretisch könntest du jetzt jeden Winkel des Dreiecks mithilfe der passenden Variante des Kosinussatzes berechnen.

Da der gesuchte Winkel \(\alpha\) ist, verwendest du den Kosinussatz in dieser Variante:

\(\mbox{a}^2 = \mbox{b}^2 + \mbox{c}^2 – 2\mbox{bc}\cdot\cos(\alpha)\)

Bevor du einsetzt, kannst du schon einmal umformen, also nach \(\cos(\alpha)\) auflösen.

\(\cos(\alpha) = \frac{\mbox{a}^2\ -\ \mbox{b}^2\ -\ \mbox{c}^2 }{-2\mbox{bc}}\)

Einsetzen führt dann zu:

\(\cos(\alpha) = \frac{3^2\ -\ 4^2\ -\ 5^2}{-2\ \cdot\ 4\ \cdot\ 5}\), also:

\(\cos(\alpha)=0,8\)

Der Taschenrechner liefert mit der Umkehrfunktion der Kosinusfunktion\(\cos^{-1}\):

\(\alpha\approx36,87^°\)

Lösung

a) Die Dreiecksseite b ist ca. 8,05 cm lang.

b) Der Winkel \(\alpha\) ist ca. 36,87° groß.

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