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Wie du fehlende Größen eines Drachens berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du fehlende Größen eines Drachens berechnest

Aufgabe

Bei dem unten abgebildeten Drachenviereck gilt:

\(\overline{AB}=a\)
\(b=1,5\cdot a\)
\(\overline{BE}=0,6\cdot a\)
\(f=2,2\cdot a\)

Der Umfang \(U\) beträgt \(12,5\ cm\).

a) Berechne die Seitenlänge \(a\).

b) Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks.

Wie du fehlende Größen eines Drachens berechnest - Abbildung 1

Das musst du wissen

Ein Drachenviereck ist achsensymmetrisch, deshalb

  • sind jeweils zwei Seiten gleich lang.
  • wird eine Diagonale von der anderen halbiert.

Der Flächeninhalt eines Drachens lässt sich mit der Formel \(A=\frac{1}{2}ef\) berechnen.

Den Umfang \(U\) eines Vielecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Berechne die Seitenlänge \(a\).

Schritt 1: Gib die Seitenlängen als Vielfache von a an

Da es sich beim Drachenviereck um eine achsensymmetrische Figur handelt, sind die Seiten \(a\) und \(d\) und die Seiten \(b\) und \(c\) jeweils gleich groß. Wenn du die Angaben von oben verwendest, sieht das beschriftete Viereck so aus:

Wie du fehlende Größen eines Drachens berechnest - Abbildung 2

Schritt 2: Stelle eine Gleichung für den Umfang auf

Wie du siehst, kommt bei allen Seitenlängen nur noch die Unbekannte \(a\) vor. Da der Umfang die Summe aller Seitenlängen ist und der Umfang in der Aufgabenstellung gegeben ist, lässt sich eine Gleichung mit dem Umfang aufstellen, die du dann nach \(a\) auflösen kannst.

\(a+1,5a+1,5a+a=12,5\ cm\)

Schritt 3: Löse die Gleichung nach a auf

Wenn du die linke Seite der Gleichung erst zusammenfasst und dann nach \(a\) auflöst, ergibt sich:

\(5a=12,5\ cm\)  \(\Rightarrow a=2,5\ cm\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks.

Schritt 1: Bestimme die Länge der beiden Diagonalen

Die Diagonale \(e\) wird von der Diagonalen \(f\) halbiert. Damit ist \(e\) doppelt so lang wie die gegebene Strecke \(\overline{BE}\), die 0,6-mal so lang wie \(a\) ist. Da du den Wert von \(a\) bereits kennst, kannst du die Länge von \(e\) berechnen.

\(e=2\cdot \overline{BE}=2\cdot 0,6a=1,2\cdot2,5\ cm=3\ cm\)

Um \(f\) zu berechnen, musst du nur den Wert von \(a\) in den Ausdruck von \(f\) aus der Aufgabenstellung einsetzen.

\(f=2,2a=2,2\cdot2,5\ cm=5,5\ cm\)

Schritt 2: Berechne den Flächeninhalt mit der Formel

Setzt du die Werte von e und f in die Flächenformel ein, erhältst du den Flächeninhalt.

\(A=\frac{1}{2}ef=\frac{1}{2}\cdot3\ cm \cdot5,5\ cm=8,25\ cm^2\)

 

Lösung

a) Die Seite \(a\) ist \(2,5\ cm\) lang.

b) Der Flächeninhalt des Drachens beträgt \(8,25\ cm^2\).

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