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Wie du Exponentialgleichungen durch Substitution löst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Exponentialgleichungen durch Substitution löst

Aufgabe

Löse die folgenden Gleichungen:

a)    \(7^{4x} - 5 \cdot 7^{2x} = -6 \)

b)    \(3^x - 2 \cdot 3^{-x} + 1 = 0\)

Hinweis

Immer dann, wenn genau zwei Exponentialfunktionen vorkommen und der eine Exponent genau das Doppelte des anderen Exponenten darstellt, kannst du eine Gleichung mit Substitution lösen.

Ein Sonderfall ist die Teilaufgabe b), also der Fall, dass der eine Exponent x und der andere x ist. Auch diesen Fall kann man mit Substitution lösen.

Lösungsschritte für a)

a)    \(7^{4x} - 5 \cdot 7^{2x} = -6 \)

Schritt 1: Substitution

Um eine Gleichung mit zwei Exponentialfunktionen und einer Zahl zu lösen, musst du eine Substitution durchführen. Bei einer Substitution wird ein bestimmter Term in der Gleichung durch einen anderen Term ersetzt. Die Substitution führt zu einer einfacheren Gleichung, die man schnell lösen kann.

Bei Gleichungen mit Exponentialfunktionen muss man immer die Exponentialfunktion durch eine andere Variable ersetzen.

Hier ersetzt du die Exponentialfunktion \(7^{2x}\) durch die Variable u.

Beachte: Die Exponentialfunktion \(7^{4x}\) lässt sich nach dem 5. Potenzrechengesetz umschreiben als \((7^{2x})^2\). Wenn man die Substitution \(7^{2x}\) = u durchführt, wird aus \(7^{4x}\) also u².

Nach der Substitution lautet die Gleichung dann:

\(u^2 - 5 \cdot u = -6\)

Schritt 2: Gleichung nach u auflösen

Jetzt musst du die entstandene Gleichung nach u auflösen. Das geht am einfachsten mit der Mitternachtsformel. Um die Mitternachtsformel anwenden zu dürfen, musst du zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringen.

\(u^2 - 5 \cdot u = -6\)  | \(+\ 6\)

\(u^2 - 5 \cdot u + 6 = 0\)

Nun wendest du die Mitternachtsformel an.

\(u_{1,2} = \frac{5\ \pm\ \sqrt{(-5)^2\ -\ 4\ \cdot\ 1\ \cdot\ 6}}{2\ \cdot\ 1}\)

Du erhältst zwei Lösungen.

\(u_{1} = 3\)\(u_2 = 2\)

Schritt 3: Resubstitution

Du hast nun zwei Ergebnisse für die Variable u. Gesucht war am Anfang aber die Lösung für die Variable x. Also musst du jetzt die Resubstitution durchführen. Das bedeutet, dass du die Substitution noch einmal hinschreibst.

\(7^{2x} = u\)

In diese Gleichung setzt du für u deine oben berechneten Ergebnisse ein und löst nach x auf.

Mit \(u_1\):

\(7^{2x} = 3\)

Nach x lösen, indem du den Logarithmus anwendest.

\(2x = log_{7}3\)  | \(: 2\)

\(x = \frac{log_{7}{3}}{2}\) \(\approx 0,28\)

Mit \(u_2\):

\(7^{2x} = 2\)

Nach x lösen, indem du den Logarithmus anwendest.

\(2x = log_{7}2\)  | \(: 2\)

\(x = \frac{log_{7}{2}}{2}\) \(\approx 0,18\)

Du hast also nun zwei Ergebnisse für x.

\(x_1 \approx 0,28\); \(x_2 \approx 0,18\)

Lösungsschritte für b)

b)   \(3^x - 2 \cdot 3^{-x} + 1 = 0\)

Schritt 1: Substitution

Auch bei dieser Aufgabe musst du die Exponentialfunktion durch eine Variable ersetzen.

Hier ersetzt du die Funktion \(3^x\) durch u.

Beachte: Die Funktion \(3^{-x}\) lässt sich nach den Potenzgesetzen umschreiben als \(\frac {1}{3^x}\). Substituierst du mit u, so wird \(3^{-x}\) zu \(\frac {1}{u}\).

Nach der Substitution lautet die Gleichung:

\(u -2 \frac{1}{u} + 1 = 0\)

Schritt 2: Gleichung nach u auflösen

Um die entstandene Gleichung zu lösen, wendest du einen Trick an: Du multiplizierst die ganze Gleichung mit u. Das führt zu einer Gleichung, die du einfach mit der Mitternachtsformel lösen kannst.

\(u - 2 \cdot \frac{1}{u} + 1 = 0\) | \(\cdot\ u\)

\(u^2 - 2 + u = 0\)

Um die Mitternachtsformel anzuwenden, stellst du den Term am besten in folgende Reihenfolge um:

\(u^2 + u - 2 = 0\)

Nun wendest du die Mitternachtsformel an.

\(u_{1,2} = \frac{-1\ \pm\ \sqrt{1^2\ -\ 4\ \cdot\ 1\ \cdot\ (-2)}}{2\ \cdot\ 1}\)

Du erhältst zwei Ergebnisse.

\(u_1 = 1\); \(u_2 = -2\)

Schritt 3: Resubstitution

Nun führst du die Resubstitution durch, um x zu berechnen. Dazu schreibst du die Substitutionsgleichung hin.

\(3^x = u\)

In diese setzt du deine oben berechneten Ergebnisse für u ein und löst nach x auf.

Mit \(u_1\):

\(3^x = 1\)

Wende den Logarithmus an, um nach x aufzulösen.

\(x = log_3{1}\)

\(x = 0\)

Mit \(u_2\):

\(3^x = -2\)

Wende den Logarithmus an, um nach x aufzulösen.

\(x = log_3{(-2)}\)

Achtung: Der Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert! \(u_2\) liefert also keine Lösung.

Die Teilaufgabe b) hat daher nur eine Lösung.

\(x = 0\)

Lösung

Teilaufgabe a):

\(x_1 \approx 0,28\); \(x_2 \approx 0,18\)

Teilaufgabe b):

\(x = 0\)

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