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Wie du erkennst, dass ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du erkennst, dass ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat

Aufgabe

Löse das folgende Gleichungssystem.

I. 6x + 3y = 18

II. 2x + y = 6

Schritt 1: Lösungsverfahren aussuchen

Um ein Gleichungssystem zu lösen, musst du dir zuerst ein Lösungsverfahren aussuchen. Du hast zur Auswahl: das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Man kann prinzipiell mit jedem Lösungsverfahren jedes Gleichungssystem lösen. Allerdings ist bei manchen Gleichungssystemen das eine Lösungsverfahren einfacher anzuwenden als die anderen. Bei diesem Gleichungssystem hier fällt auf, dass in der 2. Gleichung vor dem y keine Zahl steht.

I. 6x + 3y = 18

II. 2x + y = 6

Immer wenn das der Fall ist, dann ist das Einsetzungsverfahren besonders leicht. Wähle also am besten das Einsetzungsverfahren, um dieses Gleichungssystem zu lösen.

Schritt 2: Lösungsverfahren anwenden

Jetzt wendest du also das Einsetzungsverfahren auf das Gleichungssystem an. Dazu löst du die 2. Gleichung nach y auf.

I. 6x + 3y = 18

II. 2x + y = 6  | − 2x

IIa. y = 6 − 2x

Diesen Term setzt du nun für y in die 1. Gleichung ein. Vergiss dabei nicht, den Term in Klammern zu setzen.

IIa in I. 6x + \(3 \cdot \color {red} (6 - 2x \color {red})\) = 18

Um x zu berechnen, musst du die Klammern auflösen.

         6x + 18 − 6x = 18

Jetzt fasst du die x-Terme zusammen. Dabei fällt auf: 6x − 6x ergibt 0.

       0 + 18 = 18

Also steht nur noch da:

           18 = 18

Schritt 3: Lösungsmenge bestimmen

Bei deiner Rechnung sind die x-Terme weggefallen. Übrig geblieben sind nur zwei Zahlen.

        18 = 18

Links und rechts steht die gleiche Zahl. Immer wenn bei der Rechnung die x-Terme wegfallen und zwei gleiche Zahlen übrig bleiben, ist die Lösungsmenge die gesamte Grundmenge.

\(\mathbb {L} = \mathbb {G}\)

Die Grundmenge solcher Gleichungen ist meistens die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb {Q}\) oder die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb {R}\).

\(\mathbb {L} = \mathbb {Q}\) oder \(\mathbb {L} = \mathbb {R}\)

Hinweis

Es ist prinzipiell auch möglich, auf einen Blick zu erkennen, dass ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Das funktioniert folgendermaßen: Du vergleichst die linken Seiten der beiden Gleichungen.

6x + 3y

2x + y

Dabei fällt dir auf, dass der obere Term genau das Dreifache des unteren Terms ist.

\(3 \cdot (2x + y) = 6x + 3y\)

Jetzt vergleichst du die rechten Seiten der beiden Gleichungen.

... = 18

... = 6

Hier fällt dir auf, dass 18 auch genau das Dreifache von 6 ist. Immer wenn die linke Seite einer Gleichung genau ein Vielfaches der linken Seite der anderen Gleichung ist und das auch für die beiden rechten Seiten gilt, dann hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Lösung

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist gleich der Grundmenge.

\(\mathbb {L} = \mathbb {G}\)

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