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Wie du eine Geradengleichung mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du eine Geradengleichung mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens bestimmst

Aufgabe

Finde die Gleichung der Geraden, die mit der x-Achse einen Winkel von 30° einschließt und die y-Achse in P(0|8) schneidet!

Schritt 1: Allgemeine Geradengleichung ansetzen

Die allgemeine Geradengleichung lautet

\(y=m⋅x+t.\)

Dabei ist \(m\) die Steigung der Geraden (je größer \(|m|\), desto steiler die Gerade).

Wie du eine Geradengleichung mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens bestimmst - Abbildung 1


\(t\) ist der y-Achsenabschnitt.

Schritt 2: Steigung bestimmen

Die Steigung einer Geraden ist immer gleich dem Tangens des Schnittwinkels mit der x-Achse. Der Schnittwinkel dieser Aufgabe ist 30°:

\(m=tan⁡(30 °).\)

Außerdem gilt stets \(tan(α)=\frac{sin(α)}{cos(α)} \). (s. trigonometrische Formeln

Wie du eine Geradengleichung mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens bestimmst - Abbildung 2


In diesem Fall ist daher

\(m=\frac{sin(30°)}{cos⁡(30 °)}.\)

Die Sinus- und Kosinuswerte der wichtigsten Winkel musst du auswendig wissen, nämlich von 0°, 30°, 45°, 60° und 90°.

\(\sin(30°)=\frac{1}{2}\)

\(\cos(30°)=\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

Einsetzen liefert

\(m=\frac{sin⁡(30 °)}{cos⁡(30 °)} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} (\approx0,58).\)

Unsere Geradengleichung sieht jetzt so aus:

\(y=\frac{1}{\sqrt{3}} x+t.\)

Schritt 3: y-Achsenabschnitt und Lösung bestimmen

Du bestimmst \(t\) durch Einsetzen der Koordinaten von P in die Gleichung

\(y=\frac{1}{\sqrt{3}} x+t.\)

Der Punkt P hat die x-Koordinate 0 und die y-Koordinate 8. Einsetzen liefert

\(8=\frac{1}{\sqrt{3}}⋅0+t,\)

also \(8=t.\)

Jetzt sind \(m\) und \(t\) bekannt.

Lösung

Die vollständige Geradengleichung lautet:

\(y=\frac{1}{\sqrt{3}} x+8.\)

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