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Wie du die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. oder 2. Art berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. oder 2. Art berechnest

Aufgabe

Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40.000 pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich.

Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden.

Um den Stadionbesuch für weibliche Zuschauer attraktiver zu gestalten, werden für sie an den Imbissständen des Stadions spezielle Angebote gemacht. Der Verkaufsleiter vermutet, dass der Anteil weiblicher Zuschauer sogar auf über 25 % gestiegen ist, sodass er zusätzlich Vorräte für die speziellen Angebote bereitstellen müsste. Er möchte aber unbedingt vermeiden, auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen zu bleiben. Um eine Entscheidung treffen zu können, nutzt er Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1000 Fotos zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.

Der Verkaufsleiter testet die Nullhypothese \(H_0:p\leq 0{,}25\) (Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05).

Beschreibe den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang und berechne die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich 30 % beträgt.

[Hinweis: Die Entscheidungsregel lautet: \(H_0\) wird angenommen, wenn höchstens 273 weibliche Zuschauer auf den 1000 Fotos zu sehen sind.]

Schritt 1: Definition des Fehlers 2. Art auf den Sachverhalt übertragen

Es geht hier um die Frage, ob der Anteil \(p\) der weiblichen Zuschauer jetzt größer als 25 % ist (Vermutung des Verkaufsleiters) oder nicht. Die Zählung der Zuschauerinnen auf den 1000 Fotos entspricht einem einseitigen Hypothesentest: Die Nullhypothese

\(H_0:p\leq 0{,}25\)

ist in der Aufgabenstellung vorgegeben und entspricht der Annahme, dass der Verkaufsleiter mit seiner Vermutung unrecht hat.

Der Fehler 2. Art tritt dann ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft. In diesem Fall heißt das: Aufgrund der geringen Zahl weiblicher Zuschauer auf den Fotos wird davon ausgegangen, dass ihr Anteil höchstens 25 % beträgt, obwohl in Wirklichkeit der Anteil über 25 % liegt.

Schritt 2: Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen

Sei \(X\) die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 1000, die fotografiert wurden. Laut Entscheidungsregel im Hinweis wird die Nullhypothese angenommen, wenn \(X\leq 273\) ausfällt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass dieser Fall eintritt, wenn der Anteil der weiblichen Zuschauer 30 % beträgt, also \(P(X\leq 273)\) bei \(p=0{,}3\).

Falls die Verwendung eines grafikfähigen Taschenrechners erlaubt ist, kannst du wie folgt vorgehen:

Im STAT-Modus des GTR wählst du im DIST-Menü die Option BINM, und zwar davon die Bcd-Variante. Die Eingaben lauten wie folgt:

Data: Variable

x: 273

Numtrial: 1000

p: 0.3

SaveRes: None

Der Execute-Befehl liefert die Ausgabe:

0.03287464

Auf drei Nachkommastellen gerundet ist also \(P(X\leq 273)\approx 0{,}033\).

Falls kein grafikfähiger Taschenrechner erlaubt ist, kannst du dich der Tabellen bedienen, die den Prüfungen üblicherweise beigefügt sind oder als Tafelwerk mitgeführt werden dürfen. Hier brauchst du die kumulative Verteilungstabelle für die Binomialverteilung zu den Parametern \(n=1000\) und \(p=0{,}3\). Dort kannst du direkt einen Näherungswert für \(P(X\leq 273)\) ablesen. Runden auf drei Nachkommastellen liefert:

\(P(X\leq 273)\approx 0{,}033\)

Bemerkung

Meistens ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art (die sogenannte Irrtumswahrscheinlichkeit) vorgegeben und man soll daraus eine Entscheidungsregel ableiten. Wenn aber die Entscheidungsregel vorgegeben ist, hier z. B. Annahme von \(H_0\) bei \(X\leq 273\), so berechnest du die größtmögliche Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art, indem du für das größte \(p\), das \(H_0\) zulässt (in diesem Fall \(p=0{,}25\)), die Wahrscheinlichkeit \(P(X>273)=1-P(X\leq 273)\) nachschlägst oder mit dem GTR berechnest.
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