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Wie du die Strahlensätze anwendest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Strahlensätze anwendest

Aufgabe

Zur Bestimmung der Breite \(\overline{\text{AC}}=x\) eines Flusses werden die Punkte B, C, D und E abgesteckt und die Streckenlängen \(\overline{\text{BC}}=y=45\,\text{m}\), \(\overline{\text{DE}}=v=60\,\text{m}\), \(\overline{\text{CE}}=z=25\,\text{m}\) gemessen (vgl. Skizze)

Wie du die Strahlensätze anwendest - Abbildung 1

a) Bestimme die Flussbreite \(x \) allgemein mithilfe der angegebenen Buchstaben.

b) Bestimme die Flussbreite \(x\) mithilfe der Maßangaben.

Schritt 1: Strategie für a) wählen

Die beiden Ufer des Flusses und die Strecke \(\overline{ED} \) sind parallel und werden jeweils von den zwei dazu schräg stehenden Strecken geschnitten. Das ist ein typischer Fall, wo du die Strahlensätze anwenden kannst. Nur gibt es keinen Strahlensatz, der uns direkt eine Gleichung liefert, in der \(x\) nur einmal vorkommt. Da die waagrechten Strecken \(y\) und \(v\) bekannt sind, eignet sich der 2. Strahlensatz:

Wie du die Strahlensätze anwendest - Abbildung 2            Wie du die Strahlensätze anwendest - Abbildung 3

Er besagt, dass das Längenverhältnis der roten Seite zur grünen Seite im kleinen Dreieck (links) gleich dem entsprechenden Verhältnis im großen Dreieck (rechts) ist.

Schritt 2: Formel für die Flussbreite herleiten

Mithilfe der Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung können wir die Aussage des 2. Strahlensatzes als Formel schreiben:

\(\frac{x}{y}=\frac{x+z}{v}\)

Diese Formel muss jetzt nach \(x\) aufgelöst werden. Multipliziere dazu erst die beiden Nenner aus:

\(\begin{align*} &\frac{x}{y}=\frac{x+z}{v}&&|\cdot v\cdot y\\ &v\cdot x=y\cdot(x+z)&&|\text{ Klammer auflösen}\\ &v\cdot x=y\cdot x+y\cdot z&&|-y\cdot x\\ &v\cdot x-y\cdot x=y\cdot z&&|x\text{ ausklammern}\\ &x\cdot(v-y)=y\cdot z&&|:(v-y)\\ &\color{green} {x=\frac{y\cdot z}{v-y}} \end{align*}\)

Die grüne Formel ist eine Lösung für Teilaufgabe a).

Schritt 3: Flussbreite berechnen

Um die Flussbreite auszurechnen, musst du nur noch die Längenangaben aus der Aufgabenstellung in die grüne Formel einsetzen. Das waren folgende Maße:

\(y=45\,\text{m}\),

\(v=60\,\text{m}\) und

\(z=25\,\text{m}\)

Du bekommst mithilfe der grünen Formel

\(\begin{align*} x&=\frac{y\cdot z}{v-y}\\ &=\frac{45\,\text{m}\cdot 25\,\text{m}}{60\,\text{m}-45\,\text{m}}\\ &=\frac{1125\,\text{m}^2}{15\,\text{m}}\\ &=75\,\text{m}. \end{align*}\)

Der Fluss ist also \(75\,\text{m}\) breit.

Lösung

Der Fluss ist also 75 m breit.

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