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Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst

Aufgabe

Bestimme die Steigung der folgenden beiden Graphen:

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 1

Das musst du wissen

Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist:

\(f(x)=m\cdot x+b\)

Dabei steht m für die Steigung der linearen Funktion und b für den y-Achsenabschnitt.

Wenn du die Steigung des Graphen einer linearen Funktion herausfinden willst, machst du das am besten mit dem sogenannten Steigungsdreieck. Eine Seite des Dreiecks ist eine Strecke auf dem Graphen, eine Seite ist eine Parallele zur x-Achse und die dritte Seite ist eine Parallele zur y-Achse. Anhand der Breite und der Höhe des Steigungsdreiecks kannst du dann die Steigung des Graphen und damit das m im Funktionsterm bestimmen. Wie das genau geht, erfährst du nun.

Lösungsschritte zu Teilaufgabe a

Schritt 1: Markiere 2 Punkte auf dem Graphen

Zu Beginn musst du die Strecke auf dem Graphen festlegen, die eine Seite des Dreiecks sein soll. Du kannst sie beliebig lang wählen, d. h., Start- und Endpunkt kannst du frei festlegen. Es ist aber sinnvoll, die Strecke nicht zu lang zu machen und Punkte zu wählen, die ganzzahlige Koordinaten haben. Nimm also zum Beispiel die Punkte \(A(1\mid1) \) und \(B (4\mid2)\).

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 2

Schritt 2: Zeichne die beiden anderen Seiten des Dreiecks

Ausgehend von den beiden Punkten musst du nun eine Parallele zur x-Achse und eine Parallele zur y-Achse einzeichnen.

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 3

Diese drei Seiten formen nun ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 4

Schritt 3: Bestimme die Steigung

Die Steigung einer Geraden bzw. einer linearen Funktion ist definiert als \(\frac{Höhenunterschied}{horizontale\ Distanz}\) der beiden Punkte. Der Höhenunterschied ist die Höhe des Dreiecks und die horizontale Distanz die Breite des Dreiecks.

In dem Koordinatensystem kannst du ablesen, dass die Höhe 1 und die Breite 3 ist. Damit ist:

\(m=\frac{Höhe}{Breite}=\frac{1}{3}\)

Lösungsschritte zu Teilaufgabe b

Schritt 1: Markiere 2 Punkte auf dem Graphen

Gehe nun beim zweiten Graphen genauso wie beim ersten vor! Bestimme also als Erstes wieder eine Strecke auf dem Graphen. Start- und Endpunkt könnten beispielsweise \(C(2\mid4) \) und \(D(4\mid1)\) sein.

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 5

Schritt 2: Zeichne die beiden anderen Seiten des Dreiecks

Nun musst du wieder jeweils eine Parallele zur x- und zur y-Achse zeichnen.

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 6

Diese drei Seiten formen nun wieder ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie du die Steigung von Funktionen mithilfe des Steigungsdreiecks angibst - Abbildung 7

Schritt 3: Bestimme die Steigung

Wenn du jetzt wieder die Höhe und die Breite des Dreiecks abliest, kannst du die Steigung des Graphen bestimmen. Achtung: Diesmal fällt der Graph. Deshalb ist die Steigung negativ.

\(m=-\frac{Höhe}{Breite}=-\frac{3}{2}\)

Lösung

Die Steigung des Graphen a ist \(m=\frac{1}{3}\).

Die Steigung des Graphen b ist \(m=-\frac{3}{2}\).

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