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Wie du die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks aus der Höhe berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks aus der Höhe berechnest

Aufgabe 

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Höhe  \(h=3\sqrt{3}\,\text{cm}\). Bestimme die Seitenlänge dieses Dreiecks.

Wie du die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks aus der Höhe berechnest - Abbildung 1

Hinweis

Bei dieser Aufgabe ist es wichtig zu erkennen, dass das gleichseitige Dreieck durch die Höhe in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke geteilt wird.

Schritt 1: Ansatz mit dem Satz des Pythagoras

Betrachte die rot eingefärbte Hälfte des vorgegebenen Dreiecks:

Wie du die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks aus der Höhe berechnest - Abbildung 2

Die Skizze legt nahe, dass die untere Grundseite von der Höhe genau in der Mitte berührt wird, d. h. dass \(p=\frac{a}{2}\) ist. Im folgenden Absatz wird im Detail bewiesen, dass diese Vermutung stimmt.

Beweis für \(p=\frac{a}{2}\)

Aufgrund der gleichen Seitenlängen sind auch die Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks gleich groß. Ist ein Innenwinkel \(\alpha\), so folgt aus dem Winkelsummensatz \(\alpha+\alpha+\alpha=180°\), also \(\alpha=\frac{180°}{3}=60°\).

Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite, also hat das rote Dreieck an den unteren Ecken die Winkel 90 ° und 60 °. Nach dem Winkelsummensatz ist der obere Innenwinkel 180° - 90°- 60° = 30°. Somit ist der obere Winkel des roten Dreiecks genau halb so groß wie der obere Winkel des großen gleichseitigen Dreiecks. Somit hat das linke Teildreieck an der oberen Spitze ebenfalls einen Winkel von 30 °.

Die beiden Schenkel dieses Winkels haben dieselben Längen a und h wie die entsprechenden Seiten im roten Dreieck. Nach dem SWS-Kongruenzsatz sind somit die beiden Teildreiecke des gleichseitigen Dreiecks kongruent.

Insbesondere sind die beiden unteren Seiten gleich lang, also \(p=\frac{a}{2}\).

Anwendung des Satz des Pythagoras

Im roten rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras, der in diesem Fall \(p^2 + h^2 = a^2\) lautet.

Wegen \(p = \frac{a}{2}\) gilt also \((\frac{a}{2})² + h² = a²\) .

Schritt 2: Gleichung nach a auflösen und einsetzen

Die obige Gleichung \((\frac{a}{2})² + h² = a²\)
liefert durch Ausmultiplizieren \(\frac{a²}{4}+ h² = a²\),

also nach Zusammenfassen der Terme mit der Variablen \(a\)

\(h² = a² - \frac{a²}{4} = \frac{3}{4}a²\).

Auflösen nach \(a\) ergibt 

\(a=\sqrt{\frac{4}{3}h^2}\).

Jetzt kannst du die vorgegebene Größe \(h = 3\sqrt{3}\,\text{cm}\) einsetzen:

\(a=\sqrt{\frac{4}{3}(3\sqrt{3}\,\text{cm})^2}\)

  \(= \sqrt{\frac{4}{3}\cdot27\,\text{cm}^2}\)

  \(=\sqrt{36\,\text{cm}^2}\)

  \(=6\,\text{cm}\).

Lösung

Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks beträgt 6 cm.

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