Wie du die quadratische Lösungsformel anwendest (Mitternachtsformel, abc-Formel)
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Bestimme die Lösungsmenge.
Die quadratische Gleichung liegt in der sogenannten allgemeinen Form vor, d. h., es ist nichts ausgeklammert und die Terme sind absteigend nach Potenzen von \(x\) geordnet.
\(ax^2+bx+c=0\)
Daher kannst du direkt die folgende Formel für die Diskriminante benutzen.
\(\begin{align*} D&=b^2-4\cdot a\cdot c= (-8)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot 14\\ &=64-28=36 \end{align*}\)
Da die Diskriminante \(D\) positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, die du mit der quadratischen Lösungsformel (z. T. auch „Mitternachtsformel“ genannt) berechnen kannst:
Ist \(x\in\mathbb{R}\) eine Lösung der Gleichung \(ax^2+bx+c=0\), so ist
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\),
wobei \(\pm\) bedeutet, dass an der Stelle entweder ein Plus oder ein Minus steht. Eine Lösung ist also
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot\frac{1}{2}}=2\)
und die andere ist
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot\frac{1}{2}}=14\).
Die Lösungsmenge ist somit
\(\mathbb{L}=\{x_1;x_2\}=\{2;14\}\).
Die quadratische Gleichung musst du zuerst in die allgemeine Form bringen, indem du alle Terme von der rechten Seite auf die linke Seite überträgst.
Aus
\(3x^2=-6x+9\)
wird
\(3x^2+6x-9=0.\)
Die drei Koeffizienten \( 3\), \(6\) und \( 9 \) sind alle durch \(3 \) teilbar. Mache dir also das Leben einfacher, indem du die Gleichung durch \(3\) teilst:
\(x^2+2x-3=0\).
Jetzt hat unsere Gleichung die Form
\(ax^2+bx+c=0\).
Daher kannst du die Formel für die Diskriminante benutzen.
\(\begin{align*} D&=b^2-4\cdot a\cdot c= 2^2-4\cdot 1\cdot(-3)\\ &=4+12=16 \end{align*}\)
Die Diskriminante der ursprünglichen Gleichung war \(3^2\cdot 16=144\). Da du die Gleichung durch \(3\) geteilt hast, kommen jetzt in der Formel kleinere einfachere Zahlen raus. Die Lösungen der Gleichung bleiben dabei unverändert.
Da die Diskriminante \(D\) positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, die du mit der quadratischen Lösungsformel (bzw. „Mitternachtsformel“) berechnen kannst.
Ist \(x\in\mathbb{R}\) eine Lösung der Gleichung \(ax^2+bx+c=0\), so ist
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}=\frac{-2\color{green} {\pm}\sqrt{16}}{2}\),
wobei \(\pm\) bedeutet, dass an der Stelle entweder ein Plus oder ein Minus steht. Eine Lösung ist also
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-4}{2}=-3\)
und die andere ist
\(x_2=\frac{-b\color{green} {+}\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+4}{2}=1\).
Die Lösungsmenge ist somit
\(\mathbb{L}=\{x_1;x_2\}=\{-3;1\}\).
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