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Wie du die Pfadregeln anwendest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Pfadregeln anwendest

Aufgabe

Eine Urne enthält neun gleich große Kugeln, fünf blaue, drei gelbe und eine schwarze. Karl zieht zwei Kugeln nacheinander aus der Urne, ohne die erste zurückzulegen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben?

Schritt 1: Baumdiagramm aufstellen

Es wird zweimal aus einer Urne gezogen, d. h. es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beim ersten Zug gibt es drei mögliche Ausgänge, nämlich blau ("b"), gelb ("g") und schwarz ("s"). Diesen Sachverhalt stellst du folgendermaßen dar:

Wie du die Pfadregeln anwendest - Abbildung 1         

Für jeden dieser drei Ausgänge musst du dir überlegen, welche möglichen Ausgänge der 2. Zug haben kann. Ist die erste gezogene Kugel blau, so bleiben in der Urne noch vier blaue, drei gelbe und eine schwarze Kugel, d. h. es gibt für den zweiten Zug wieder die drei Möglichkeiten blau, gelb und schwarz. Ist die erste gezogene Kugel gelb, so bleiben in der Urne noch fünf blaue, zwei gelbe und eine schwarze Kugel, d. h. es gibt für den zweiten Zug wieder die drei Möglichkeiten blau, gelb und schwarz.Wird aber als erstes die schwarze Kugel gezogen, so bleiben nur noch blaue und gelbe Kugeln in der Urne zurück, denn es wird ja ohne Zurücklegen gezogen. Also sieht das Baumdiagramm wie folgt aus:

Wie du die Pfadregeln anwendest - Abbildung 2

Für diese Aufgabe brauchst du nicht alle Übergangswahrscheinlichkeiten auszurechnen. Es geht um das Ereignis "zwei Kugeln gleicher Farbe werden gezogen". Dafür interessieren uns nur die Pfade "blau-blau" und "gelb-gelb", die wir der Übersichtlichkeit halber rot markieren:

Wie du die Pfadregeln anwendest - Abbildung 3

 

Du musst alle Übergangswahrscheinlichkeiten entlang der roten Pfade bestimmen. Dazu benutzt du die Regel \(\text{Wahrscheinlichkeit}=\frac{\text{Anzahl der passenden Möglichkeiten}}{\text{Anzahl aller Möglichkeiten}}. \)

Die Wahrscheinlichkeit, im 1. Zug eine blaue Kugel zu ziehen, ist \(P(b)= \frac{\text{Anzahl blauer Kugeln vor dem 1. Zug}}{\text{Anzahl aller Kugeln vor dem 1. Zug}}=\frac{5}{9}.\)

Die Wahrscheinlichkeit, im 1. Zug eine gelbe Kugel zu ziehen, ist \(P(b)= \frac{\text{Anzahl gelber Kugeln vor dem 1. Zug}}{\text{Anzahl aller Kugeln vor dem 1. Zug}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\)

Jetzt brauchst du noch die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Zug eine blaue Kugel gezogen wird, wenn beim ersten Zug auch schon blau gezogen wurde (Ende des oberen roten Pfades). Wenn zuerst eine blaue Kugel gezogen wird, dann verbleiben in der Urne noch 8 Kugeln und davon sind vier blau. Die Wahrscheinlichkeit, eine dieser vier blauen Kugeln zu ziehen, ist also \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \).

Es fehlt nur noch der Übergang von gelb nach gelb. Kommt beim ersten Zug eine gelbe Kugel zum Vorschein, so bleiben in der Urne 8 Kugeln, davon zwei gelbe. Also beträgt die fehlende Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). Unser Baumdiagramm können wir jetzt also wie folgt ergänzen:

Wie du die Pfadregeln anwendest - Abbildung 4

 

Schritt 2: Erste Pfadregel anwenden

Das Ereignis "zwei Kugeln gleicher Farbe werden gezogen" besteht aus den zwei roten Pfaden, nämlich den oberen ("blau-blau") und den unteren ("gelb-gelb"). Diese Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnest du mit der 1. Pfadregel ("Pfadmultiplikationsregel"): du multiplizierst einfach alle Wahrscheinlichkeiten, die entlang des Pfades auftauchen. Beim Pfad "blau-blau" sind das die Wahrscheinlichkeiten \( \frac{5}{9} \)und \(\frac{1}{2}\). Die Wahrscheinlichkeit des oberen roten Pfades ist somit \(P(bb)=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{18}\).

Beim Pfad "gelb-gelb" tauchen die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{3} \)und \(\frac{1}{4} \)auf, d. h. die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt \(P(gg)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.\)

 

Schritt 3: Zweite Pfadregel anwenden

Um jetzt die Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses "zwei Kugeln gleicher Farbe werden gezogen" zu berechnen, benutzt du die 2. Pfadregel ("Pfadadditionsregel"): du addierst die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. Das sind die Wahrscheinlichkeiten der roten Pfade, die wir in Schritt 2 ausgerechnet haben, also \(P(bb)=\frac{5}{18}\)und \(P(gg)=\frac{1}{12}\). Also ist \(P(\text{Zwei Kugeln gleicher Farbe werden gezogen})=P(bb)+P(gg)=\frac{5}{18}+\frac{1}{12}=\frac{10}{36}+\frac{3}{36}=\frac{13}{36}\).

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