Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du die Lagebeziehung zweier Geraden bestimmen kannst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Lagebeziehung zweier Geraden bestimmen kannst

Aufgabe

Gegeben sind im Raum \(\mathbb{R}^3\) die Punkte \(A(3|0|2)\), \(B(1|{-2}|2)\) und \(C(5|{-2}|2)\) sowie die Abbildung \(f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3\) mit der Gleichung:

\(f(\vec{x})=\begin{pmatrix} -0{,}6 & 0{,}8 & 0\\ 0{,}8 & 0{,}6 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\vec{x}\)

Gegeben sei im \(\mathbb{R}^3\) die Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 4\end{pmatrix}+a\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix},a\in\mathbb{R}\).

Bestimme das Bild \(g'\) der Geraden \(g\) bzgl. der Abbildung \(f\) und untersuche die gegenseitige Lage der Geraden \(g\) und \(g'\).

[Hinweis: \(g':\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{pmatrix},b\in\mathbb{R}\)]

Schritt 1: Bildgerade bestimmen

Die Bildgerade \(g'\) besteht aus allen Bildpunkten der Punkte auf \(g\) unter der Abbildung \(f\). Der allgemeine Geradenpunkt auf \(g\) hat den Ortsvektor \(\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 4\end{pmatrix}+a\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+2a\\ 1-a\\ 4\end{pmatrix}\). Dessen Bildpunkt unter \(f\) ist:

\(\begin{align*} f\begin{pmatrix}3+2a\\ 1-a\\ 4\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -0{,}6 & 0{,}8 & 0\\ 0{,}8 & 0{,}6 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3+2a\\ 1-a\\ 4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-0{,}6\cdot(3+2a)+0{,}8\cdot(1-a)+0\cdot 4\\ 0{,}8\cdot(3+2a)+0{,}6\cdot(1-a)+0\cdot 4\\ 0\cdot(3+2a)+0\cdot(1-a)+1\cdot 4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-1,8-1,2a+0,8-0,8a\\ 2,4+1,6a+0,6-0,6a\\ 4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-1-2a\\ 3+a\\ 4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4\end{pmatrix} +a\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{align*}\).

Dieses Ergebnis ist der allgemeine Punkt der Bildgeraden \(g'\). Um Verwechslungen zu vermeiden, ist es sinnvoll, einen neuen Parameter für die Gerade \(g'\) zu wählen. Wir nehmen \(b\) statt \(a\) und erhalten damit:

\(g':\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)

Schritt 2: Prüfen, ob Richtungsvektoren kollinear sind

In der Geradengleichung für \(g\) tauchen zwei Vektoren auf. Der erste ist der Stützvektor und der zweite (der mit dem Parameter \(a\) multipliziert wird) ist der Richtungsvektor, nämlich \(\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor von \(g'\) ist \(\begin{pmatrix}-2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\). Du musst prüfen, ob diese zwei Vektoren parallel sind oder nicht. Sie sind genau dann parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist, das heißt, wenn es ein \(\lambda\in\mathbb{R}\) gibt, sodass \(\begin{pmatrix}-2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) gilt. Wir suchen ein \(\lambda\), das die letzte Gleichung erfüllt. Die rechte Seite lautet \( \lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\lambda\\ \lambda\\ 0\end{pmatrix}\), das heißt, wir können die Gleichung schreiben als \(\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\lambda\\ \lambda\\ 0\end{pmatrix}\). Für die 1. Koordinate muss also \(2=-2\lambda\Longleftrightarrow \lambda=-1\) gelten. Setze also \(\lambda=-1\) in die Gleichung ein und prüfe, ob sie stimmt. Tatsächlich sind die Teilgleichungen für die 2. und 3. Koordinate auch erfüllt und somit sind die beiden Richtungsvektoren kollinear. Das wiederum bedeutet, dass die Geraden \(g\) und \(g'\) parallel verlaufen. 

Schritt 3: Schnittpunkte suchen

Da \(g\) und \(g'\) parallel sind, gibt es nur noch zwei Möglichkeiten. Entweder sie verlaufen „echt parallel“ und haben keinen Schnittpunkt oder sie stimmen überein. Letzteres ist genau dann der Fall, wenn der Aufpunkt einer der beiden Geraden auf der anderen liegt. Wir nehmen den Aufpunkt von \(g'\) mit Ortsvektor \(\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\) und prüfen, ob dieser auf \(g\) liegt. Dazu nehmen wir den allgemeinen Geradenpunkt von \(g\) und setzen ihn gleich diesem Punkt.

Geraden gleichsetzen, daraus Gleichungssystem aufstellen

\(\begin{pmatrix}3+2a\\ 1-a\\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\)

Diese Vektorgleichung ist genau dann erfüllt, wenn die Teilgleichungen für alle drei Koordinaten erfüllt sind. Die drei Teilgleichungen bilden das folgende lineare Gleichungssystem:

\(\begin{alignat*}{3} &\text{I:}&&3+2a&&=-1\\ &\text{II:}&&1-a&&=3\\ &\text{III:}&&4&&=4 \end{alignat*}\)

Gleichungssystem auf Lösbarkeit prüfen

Löse I nach \(a\) auf: \(3+2a=-1\Longrightarrow 2a=-1-3=-4\Longrightarrow a=-2\). Setze diesen Wert für \(a\) in II ein: \(1-(-2)=3\) stimmt. Gleichung III stimmt sowieso, unabhängig von \(a\). Also hat das Gleichungssystem eine Lösung, nämlich \(a=-2\). Das bedeutet, dass der Aufpunkt \(\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\) der Geraden \(g'\) auf der Geraden \(g\) liegt. Da die Geraden zudem auch noch parallel sind (s. o.), stimmen sie sogar überein.
Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Videos findest du hier