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Wie du die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest

Aufgabe

Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(h:x\longmapsto -\frac{1}{2}x^2+2x+4\) ist die Parabel \(G_h\).

Berechne den Inhalt des von \(G_h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten eingeschlossenen Flächenstücks.

Schritt 1: Schnittstellen der zwei Graphen bestimmen

\(G_h\) ist der Graph der Funktion \(h\) mit \(h(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+4\), also eine nach unten geöffnete Parabel (da der Koeffizient des \(x^2\)-Terms negativ ist). Somit schließen \(G_h\) und \(w\) nur dann eine endliche Fläche ein, wenn die Gerade \(w\) zwischen den Schnittpunkten unterhalb von \(G_h\) verläuft (sonst gibt es keine Schnittpunkte von \(G_h\) und \(w\)).

Wie du die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest - Abbildung 1

Die Begrenzungen der gesuchten Fläche nach links und rechts sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) und \(w\). Diese bestimmst du, indem du die Funktionsterme der beiden Graphen gleichsetzt. Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Gleichung \(y=x\) (blaue Gerade in der Skizze), das heißt, der zugehörige Funktionsterm ist \(x\). Der Funktionsterm von \(h\) ist \(-\frac{1}{2}x^2+2x+4\). Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) und \(w\) ergeben sich also aus der Gleichung:

\(x=-\frac{1}{2}x^2+2x+4\)

\(\left|+\frac{1}{2}x^2-2x-4\right.\)

\(\frac{1}{2}x^2-x-4=0\)

quadratische Lösungsformel anwenden

\(x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-4)}}{2\cdot\frac{1}{2}}=1\pm\sqrt{9}=1\pm 3\)

 

Schritt 2: Integral aufstellen und Stammfunktion finden

Die gesuchte Fläche zwischen den Graphen von \(h\) und \(w\) ist gegeben durch das Integral von \(x=-2\) bis \(x=4\) über die Differenz \(\text{obere Funktion }-\text{untere Funktion}\).

Wie wir in Schritt 1 schon gesehen haben, liegt im Integrationsbereich die Parabel über der Geraden, also ist der Integrand:

\(f(x)=h(x)-x=-\frac{1}{2}x^2+x+4\)

Wie immer brauchst du zum Integrieren eine Stammfunktion des Integranden, also hier von \(f\). Dazu benutzt du die Linearität des Integrals, die zweierlei aussagt:

  1. Ist dein Integrand eine Summe \(f(x)=s_1(x)+s_2(x)+s_3(x)\), so bekommst du eine Stammfunktion von \(f\), wenn du Stammfunktionen von \(s_1\), \(s_2\) und \(s_3\) bestimmst und diese aufsummierst.
  2. Hast du zu einer Funktion \(g\) eine Stammfunktion \(G\) und brauchst aber eine Stammfunktion für \(\lambda\cdot g\) (wobei \(\lambda\) irgendeine reelle Zahl ist), so kannst du einfach \(\lambda\cdot G\) nehmen. (Diese Aussage ist als Faktorregel bekannt.)

Somit brauchen wir nur Stammfunktionen von \(x^2\), von \(x\) und von 1 (= \(x^0\)). Aus diesen können wir dann mit den Regeln 1 und 2 eine Stammfunktion von \(f\) gewinnen. Stammfunktionen von Potenzen musst du auswendig wissen: Eine Stammfunktion von \( x\longmapsto x^n\) ist gegeben durch \(x\longmapsto \frac{1}{n+1}x^{n+1}\) (für \( n\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)).

Somit ergibt sich die Stammfunktion \(F(x)=-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2+4x\) für \(f\).

Schritt 3: Integral ausrechnen

Gesucht ist \(A=\int_{-2}^4f(x)\mathrm{d}x\).

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist das gleich \(F(4)-F(-2)\), da \(F\) eine Stammfunktion des Integranden ist. Also ist:

\(\begin{align*} A&=F(4)-F(-2)\\ &=-\frac{1}{6}\cdot 4^3+\frac{1}{2}\cdot 4^2+4\cdot 4-\left(-\frac{1}{6}\cdot(-2)^3+\frac{1}{2}\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)\right)\\ &=-\frac{32}{3}+8+16-\frac{4}{3}-2+8\\ &=30-\frac{36}{3}=18 \end{align*}\)

Die von \(G_h\) und \(w\) eingeschlossene Fläche beträgt also 18 Flächeneinheiten.

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