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Wie du die Definitionsmenge einer gebrochenrationalen Funktion und die Asymptotengleichung bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Definitionsmenge einer gebrochenrationalen Funktion und die Asymptotengleichung bestimmst

Aufgabe

  1. Bestimme die Definitionsmenge der Funktion \(f(x) = \frac{x\ -\ 6}{3x\ -\ 6}\) über der Grundmenge \(\Bbb Q\).
  2. Bestimme die Asymptoten der Funktion \(f\).

Lösungsschritte zu Teilaufgabe a)

Schritt 1: Bestimme die Definitionslücke der Funktion

Normalerweise ist die Definitionsmenge, von der wir ausgehen, \(\Bbb Q\) oder \(\Bbb R\). Allerdings gibt es Funktionen, die nicht für alle diese Werte definiert sind. So zum Beispiel bei dem Bruchterm aus dieser Aufgabe.

Da die Variable \(x\) im Nenner steht, kann es sein, dass der Nenner den Wert 0 annimmt. Das darf aber nicht passieren. Es handelt sich also um eine gebrochenrationale Funktion, die für einen Wert nicht definiert ist.

Um diesen Wert herauszufinden, musst du den Nenner gleich 0 setzen.

\(3x - 6 = 0\)

Nach \(x\) aufgelöst ist das:

\(3x - 6 = 0\quad\quad | + 6\)

\(3x = 6\quad\quad | : 3\)

\(x = 2\)

Schritt 2: Notiere die Definitionsmenge

Die Definitionsmenge enthält demnach alle rationalen Zahlen ohne den Wert 2. Das schreibst du wie folgt:

\(D = \Bbb Q \backslash \left\{2\right\}\)

Lösungsschritte zu Teilaufgabe b)

Schritt 1: Erstelle eine Wertetabelle

Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion, damit du ihren Graphen zeichnen kannst. Wähle die Zahlenschritte, also die x-Werte, nahe der Definitionslücke (\(x = 2\)) sehr klein und, je weiter du dich davon entfernst, immer größer. Wenn du jetzt die y-Werte dazu berechnest, kannst du zwei Dinge beobachten: 

1. Die Richtung, in die der Graph geht.

2. Die Beträge der Werte nahe der Definitionslücke werden sehr groß.

x

−1000

−100

−10

−2,5

−0,5

1

1,5

1,8

1,9

2

f(x)

0,34

0,35

0,4

0,6

0,9

1,7

3

7

13,7

x

2,1

2,2

2,5

3

4,5

6,5

14

100

1000

f(x)

−13

−6,3

−2,3

−1

−0,2

0,0

0,2

0,32

0,33

Schritt 2: Zeichne den Graphen und seine Asymptote ein

Zeichne nun die berechneten Werte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einem Graphen bzw. zu den zwei Teilbereichen eines Graphen. Du erkennst, dass sich die beiden Bereiche bei dem Wert 2 von beiden Seiten einer unsichtbaren Barriere annähern. Eine solche Barriere nennt man Asymptote. Der Graph wir ihr immer näher kommen, sie aber niemals berühren. In diesem Fall handelt es sich um eine senkrechte Asymptote mit dem Wert 2. Das war zu erwarten, da du ja bereits gezeigt hast, dass bei 2 die Definitionslücke liegt. 

Die waagerechte Asymptote findest du, wenn du die Werte für \(x\) gegen \(-∞\) und \(+∞\) laufen lässt. Die y-Werte für diese betragsmäßig großen x-Werte, in der Wertetabelle also \(-1000,\ -100,\ 100 \) und \(1000\), nähern sich immer mehr dem Wert \(y=0,\overline{3}= \frac{1}{3}\) an. Die Asymptote liegt also bei \(y= \frac{1}{3}\). In der Abbildung ist die waagerechte Asymptote grün dargestellt.

Wie du die Definitionsmenge einer gebrochenrationalen Funktion und die Asymptotengleichung bestimmst - Abbildung 1

Lösung

  1. Für die Definitionsmenge gilt:
    \(D = \Bbb Q \backslash \left\{ 2 \right\}\)
  2. Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y=\frac{1}{3}\).
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