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Wie du die Definitionsbereiche von Wurzeltermen bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Definitionsbereiche von Wurzeltermen bestimmst

Aufgabe

Gegeben ist der Term \(S(x)=\frac{4}{\sqrt{7x^2}-x}\).

Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert?

Schritt 1: Nenner gleich null setzen

Der Term \(S(x)=\frac{4}{\sqrt{7x^2}-x}\) ist ein Bruch. Brüche sind grundsätzlich überall dort definiert, wo der Nenner ungleich null ist. Im Nenner des Bruches taucht noch eine Wurzel auf, die genau dann definiert ist, wenn der Term \(7x^2 \) unter dem Wurzelzeichen \(\geq 0\) ist.

Der Term \(S(x)\) ist also genau dann definiert, wenn zugleich die Wurzel im Nenner definiert ist (also \(7x^2\geq 0\) gilt) und der Nenner ungleich null ist.

Die erste Bedingung ist keine Einschränkung, denn \(7x^2\geq 0 \) ist für alle \(x\in\mathbb{R}\) erfüllt. Also musst du nur herausfinden, wann der Nenner null wird. Der Nenner lautet \(\sqrt{7x^2}-x\).

Setze also


\(\begin{align*} &\sqrt{7x^2}-x=0&&|+x\\ &\sqrt{7x^2}=x&&|\text{ quadrieren}\\ &7x^2=x^2&&|-x^2\\ &6x^2=0&&|:6\\ &x^2=0. \end{align*}\)

Nun ist \( x^2=x\cdot x=0 \) nur dann, wenn einer der beiden Faktoren null ist, d. h. wenn \(x=0\) ist. Die einzige Zahl, für die der Nenner null werden könnte, ist also hier \(x=0.\) Prüfe nach, ob der Nenner an dieser Stelle tatsächlich null wird:

\(\sqrt{7\cdot 0^2}-0=0.\)

Schritt 2: Definitionsmenge angeben

Der Term \(S(x) \) ist also an der Stelle \(x=0\) nicht definiert. Da die Bedingung, dass der Nenner nicht null werden darf, die einzige Einschränkung war, ist \(S(x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) definiert. Man schreibt dazu

\(\mathbb{D}_S=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

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