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Wie du die Anzahl an Möglichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Anzahl an Möglichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst

Aufgabe

Auf der Speisekarte einer Pizzeria gibt es eine Auswahl von 35 Belägen, aus denen jeder Gast 3 wählen darf.

a) Wie viele verschiedene Pizzavarianten gibt es?

b) Wie viele verschiedene Pizzavarianten gibt es, in denen Salami vorkommt?

Lösungsschritte für Aufgabe a)

Schritt 1: Anzahl der Möglichkeiten mit Reihenfolge berechnen

Stell dir vor, der Pizzabäcker hat eine Urne mit 35 Kugeln, auf denen die jeweilige Zutat aufgedruckt ist. Er zieht nun 3 dieser Kugeln. Die Reihenfolge der Zutaten spielt keine Rolle, doch darum kümmerst du dich später. Du lässt ihn die Kugeln zunächst nacheinander ziehen. Für die 1. Kugel gibt es 35 verschiedene Möglichkeiten. Zu jeder dieser 35 Möglichkeiten kommen 34 weitere Möglichkeiten für die 2. Kugel dazu. Also schreibst du:

\(35 \cdot 34\)

Zu jeder dieser 35 mal 34 Möglichkeiten kommen dann noch 33 Möglichkeiten für die 3. Kugel. Es ergibt sich also:

\(35 \cdot 34 \cdot 33\)

Dieser Term ist ähnlich zu dem von \(35! = 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot \ ... \ \cdot 2 \cdot 1\), nur dass er nach der 33 abbricht. Man kann deshalb auch schreiben: 

\(35 \cdot 34 \cdot 33 = \frac{35!}{32!}\)

Schritt 2: Anzahl der Reihenfolgen pro Möglichkeit bestimmen

Du hast schon die Anzahl der Möglichkeiten für das Ziehen mit Reihenfolge. In dieser Menge von Kombinationen kommen manche öfter vor, obwohl sie dieselbe Pizzavariante darstellen. Zum Beispiel:

(Salami | Oliven | Zwiebeln)
(Salami | Zwiebeln | Oliven)
(Oliven | Salami | Zwiebeln)
(Oliven | Zwiebeln | Salami)
(Zwiebeln | Salami | Oliven)
(Zwiebeln | Oliven | Salami)

Du hast also eine zu große Zahl an Möglichkeiten. Für jede Pizzavariante gibt es also \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) verschiedene Reihenfolgen der Zutaten.

Schritt 3: Anzahl der Möglichkeiten ohne Reihenfolge bestimmen

Jetzt kannst du die Anzahl der Möglichkeiten ohne Reihenfolge bestimmen. Du teilst einfach die Anzahl der Varianten mit Reihenfolge durch die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen für eine Variante.

Es ergibt sich \(\frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3\cdot 2 \cdot 1} \) oder in Fakultätenschreibweise: \(\frac{\frac{35 !}{32!} }{3!}=\frac{35!}{32!\ \cdot\ 3!} =6545\).

Dieser Term ist gleich dem Binomialkoeffizienten \({35 \choose 3}\) (gesprochen: „3 aus 35“). Es gilt:

\({35 \choose 3} = \frac{35!}{3!\ \cdot\ 32!} \)

Du kannst also, wenn du den Typ der Aufgabe erkannt hast – in diesem Fall Ziehen mit einem Griff  –, auch einfach direkt diesen Term hinschreiben. Er lässt sich auch mit dem Taschenrechner berechnen.

Lösungsschritte für Aufgabe b)

Schritt 1: Aufgabentyp erkennen

Der Pizzabäcker muss in diesem Fall die Zutat Salami verwenden, diese nimmt er also als Erstes aus der Urne. Er zieht danach 2 Kugeln, bei denen die Reihenfolge nach wie vor egal ist. Es handelt sich hier also wieder um den Aufgabentyp „Ziehen mit einem Griff“.

Schritt 2: Formel für Ziehen mit einem Griff verwenden

Es befinden sich noch 34 Kugeln in der Urne, da ja die Zutat Salami schon verwendet wurde. Es werden 2 mit einem Griff gezogen. Es ergibt sich mit der Formel:

 \({34 \choose 2} = \frac{34!}{2!\ \cdot\ 32!}=561\)

Lösung

a) \(6545\)

b) \(561\)

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