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Wie du den Verlauf einer Stammfunktion grafisch bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Verlauf einer Stammfunktion grafisch bestimmst

Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Wie du den Verlauf einer Stammfunktion grafisch bestimmst - Abbildung 1

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von \(f\).

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich.

Schritt 1: Monotonie der Stammfunktion ermitteln

Gib der gesuchten Stammfunktion erst mal einen Namen, z. B. \(F\). Die Vorgabe, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) zu sein hat, bedeutet, dass \(f\) die Ableitung von \(F\) ist.

\(F'(x)=f(x)\forall x\in[a;b]\)

Das Monotonieverhalten von \(F\) ist durch das Vorzeichen der Ableitung, also durch \(f\), gegeben. Du musst also herausfinden, wann \(f\) positiv, negativ oder null ist. Das kannst du aus der Abbildung ablesen: Die Werte von \(f\) liegen zunächst oberhalb der \(x\)-Achse – dort ist \(f\) positiv und \(F\) daher streng monoton wachsend. Die Funktion \(f\) hat zwischen \(a\) und \(b\) eine Nullstelle, die wir \(x_0\) nennen. An dieser Stelle hat \(F\) eine waagerechte Tangente. Rechts von \(x_0\) liegt \(G_f\) unterhalb der \(x\)-Achse, das heißt, \(f\) ist dort negativ. Somit ist \(F\) für \(x>x_0\) streng monoton fallend.

Diese Informationen können übersichtlich in einer Tabelle zusammengefasst werden.

Wie du den Verlauf einer Stammfunktion grafisch bestimmst - Abbildung 2

Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass \(G_F\) bei \(x=x_0\) einen Hochpunkt \(H\) hat.

Schritt 2: Krümmungsverhalten der Stammfunktion ermitteln

Das Krümmungsverhalten von \(F\) ist gegeben durch das Vorzeichen von \(F''\) und \(F''=(F')'=f'\) ist genau die Ableitung der Funktion \(f\). Du kannst also aus der Steigung des abgebildeten Graphen Rückschlüsse auf die Krümmungsrichtung von \(F\) ziehen.

Die Funktion \(f\) ist zunächst streng monoton fallend (also nach unten geneigt). Hier ist also \(f'(x)<0\) und \(F\) somit rechtsgekrümmt. An einer gewissen Stelle \(x_1\) zwischen \(b\) und 0 hat \(f\) einen Tiefpunkt und rechts davon steigt \(f\) wieder monoton. Wo \(f\) monoton steigt, da ist \(f'(x)\geq 0\) und \(F\) somit (wenn überhaupt) linksgekrümmt. Bei \(x_0\) wechselt \(F\) also seine Krümmungsrichtung, das heißt, es handelt sich um eine Wendestelle von \(F\). Den zugehörigen Wendepunkt nennen wir \(W\). Diese Daten lassen sich folgendermaßen in einer Tabelle zusammenfassen:

Wie du den Verlauf einer Stammfunktion grafisch bestimmst - Abbildung 3

Am rechten Rand des abgebildeten Bereichs (ab einer gewissen Stelle \(x_2\)) ist \(f\) nahezu konstant, das heißt, \(f\) hat ungefähr die Steigung null. In diesem Bereich hat \(G_F\) so gut wie keine Krümmung, sieht also näherungsweise wie eine Gerade aus.

Schritt 3: Stammfunktion skizzieren

Die Daten zu \(f\) und \(F\), die in den Schritten 1 und 2 gesammelt wurden, ergeben folgendes Bild:

Wie du den Verlauf einer Stammfunktion grafisch bestimmst - Abbildung 4

Bemerkung

Die blaue Kurve stellt eine von vielen möglichen Stammfunktionen dar. Jede andere korrekte Lösung unterscheidet sich von der blauen Kurve nur durch Verschiebung nach oben oder unten.

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