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Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest

Aufgabe

Berechne Flächeninhalt und Umfang der gefärbten Figuren.

Stelle immer zuerst einen allgemeinen Term auf.

a)

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest - Abbildung 1

b)

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest - Abbildung 2

c)

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest - Abbildung 3

 

Lösung für a)

Schritt 1: Terme aufstellen

Die blau gefärbte Figur entsteht aus einem Quadrat der Seitenlänge \(a\), indem von jeder Ecke ein Viertelkreis entfernt wird. Der zugehörige Vollkreis hat jeweils seinen Mittelpunkt auf einer Ecke und den Mittelpunkt einer Quadratseite als Randpunkt:

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest - Abbildung 4

Sein Radius ist die Entfernung von einem solchen Randpunkt zum Mittelpunkt, also die halbe Seitenlänge des Quadrats: \( \frac{a}{2}\).

Der Flächeninhalt des Quadrats ist \(A_{\text{Quadrat}}=a^2\). Die Fläche eines Kreises vom Radius \(r\) ist \(A_{\text{Kreis}}=\pi r^2\) (Diese Formel musst du auswendig wissen.). Die Flächen der vier Viertelkreise, die aus dem Quadrat ausgeschnitten werden, ergänzen sich zur Fläche eines Vollkreises vom Radius \(r=\frac{a}{2}\), d. h. es wird die Fläche \(\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\) vom Quadrat abgezogen.

Die Fläche der eingefärbten Figur beträgt somit

\(A=A_{\text{Quadrat}}-A_{\text{Kreis}}=a^2-\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2\cdot\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\).

Nun zum Umfang: Die eingefärbte Figur wird von vier Viertelkreisbögen begrenzt, deren Längen zusammen genommen einen vollen Kreisbogen ausmachen. Der Radius ist nach wie vor \(r=\frac{a}{2}\). Die Formel für den Umfang eines Kreises musst du auswendig wissen: sie lautet

\(U_{\text{Kreis}}=2\pi r\).

Im vorliegenden Fall ist Radius \(r=\frac{a}{2}\), also ergibt sich

\(U_{\text{Kreis}}=2\pi\cdot\frac{a}{2}=\pi a\).

Wie schon bemerkt ist der Umfang der Figur gleich dem Umfang des Kreises, dessen Viertelkreisbögen stückweise die Figur begrenzen:

\(U=U_{\text{Kreis}}=\pi a\).

Schritt 2: Flächeninhalt und Umfang berechnen

Die Seitenlänge \(a\) des Quadrats ist hier \(8\text{ cm}\). Diese Größe musst du in die oben hergeleiteten Formeln einsetzen. Es ergibt sich für den Flächeninhalt der Figur
\(\begin{align*} A&=a^2\cdot\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\\ &=(8\text{ cm})^2\cdot\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\left(64-16\pi\right)\text{ cm}^2\\ &\approx 13,73\text{ cm}^2. \end{align*}\)

Die oben hergeleitete Formel für den Umfang der eingefärbten Figur liefert für \(a=8\text{ cm}\).
\(\begin{align*} U&=\pi a=\pi\cdot 8\text{ cm}=8\pi\text{ cm}\\ &\approx 25,13\text{ cm} \end{align*}\)

Lösung für b)

Schritt 1: Terme aufstellen

Die blau eingefärbte Figur ist ein Kreis \(K \) vom Radius \(a\), aus dem zwei kleinere Kreise \(\text{k}_1\) und \(\text{k}_2 \) ausgestanzt wurden. Die Durchmesser der kleineren Kreise entsprechen dem Radius des großen Kreises. Ihre Radien sind daher halb so groß wie der Radius des großen Kreises, also \(\frac{a}{2}\).

Die Fläche der blauen Figur erhältst du also aus der Kreisfläche

\(A_{\text{K}}=\pi a^2\),

indem du die Kreisflächen

\(A_{\text{k}_1}=\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\) und \(A_{\text{k}_2}=\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\)

abziehst. Der Flächeninhalt der blauen Figur ist also

\(\begin{align*} A&=A_{\text{K}}-A_{\text{k}_1}-A_{\text{k}_2}\\ &=\pi a^2-\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2-\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\\ &=\pi a^2\left(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}a^2. \end{align*}\)

Nun zum Umfang: Die Figur hat drei Grenzlinien, deren Längen du zusammenzählen musst, nämlich den Umfang des großen Kreises \( K \) und die Umfänge der zwei kleinen Kreise \(\text{k}_1\) und \(\text{k}_2\). Dabei hat \(K\) den Radius \(a\) (s. o.) und \(\text{k}_1\) und \(\text{k}_2\) haben jeweils den Radius \(\frac{a}{2} \) (s. o.). Die zugehörigen Umfänge sind nach der Formel für den Kreisumfang

\(U_K=2\pi a\), \(U_{\text{k}_1}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\) und \(U_{\text{k}_2}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\).

Der Gesamtumfang der blauen Figur ist somit
\(\begin{align*} U&=U_K+U_{\text{k}_1}+U_{\text{k}_2}\\ &=2\pi a+2\pi\cdot\frac{a}{2}+2\pi\cdot\frac{a}{2}\\ &=2\pi a\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ &=4\pi a. \end{align*}\)

Schritt 2: Flächeninhalt und Umfang berechnen

Einsetzen von \(a=4\text{ cm}\) in die oben hergeleitete Flächenformel für die blaue Figur liefert
\(\begin{align*} A&=\frac{\pi}{2}a^2=\frac{\pi}{2}\cdot(4\text{ cm})^2\\ &=8\pi\text{ cm}^2\\ &\approx 25,13\text{ cm}^2. \end{align*}\)

Einsetzen von \(a=4\text{ cm}\) in die oben hergeleitete Formel für den Umfang der blauen Figur liefert
\(\begin{align*} U&=4\pi a=4\pi\cdot 4\text{ cm}\\ &=16\pi\text{ cm}\\ &\approx 50,27\text{ cm}. \end{align*}\)

Lösung für c)

Schritt 1: Terme aufstellen

Die blaue Figur setzt sich aus drei Halbkreisen zusammen: einem großen Halbkreis vom Durchmesser \(a=20\text{ cm}\)

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest - Abbildung 5

und zwei kleinen Halbkreisen mit jeweils dem halben Durchmesser, also \(\frac{a}{2}=10\text{ cm}\).

Wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnest - Abbildung 6

Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser, also \(\frac{a}{2}\) beim großen Kreis \(K\) und bei den kleinen Kreisen \(\text{k}_1\) und \(\text{k}_2\) jeweils \(\frac{a}{4}\).

Nach der Formel für die Kreisfläche ist also

\(A_{\text{K}}=\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\) und \(A_{\text{k}_1}=A_{\text{k}_2}=\pi\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2\).

Der Flächeninhalt der blauen Figur, die von den drei Kreisen \( K\)\( \text{k}_1\) und \(\text{k}_2\) jeweils die Hälfte umfasst, beträgt deswegen
\(\begin{align*} A&=\frac{1}{2}A_{\text{K}}+\frac{1}{2}A_{\text{k}_1}+\frac{1}{2}A_{\text{k}_2}\\ &=\frac{1}{2}\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\pi\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2+\frac{1}{2}\pi\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2\\ &=\frac{1}{2}\pi a^2\cdot\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\right)\\ &=\frac{3}{16}\pi a^2. \end{align*}\)

Nun zum Umfang: Die blaue Figur wird durch drei Halbkreisbögen begrenzt, nämlich oben durch den großen Halbkreisbogen vom Radius \(\frac{a}{2}\) und unten durch die beiden kleinen Halbreisbögen vom Radius \(\frac{a}{4}\).

Nach der Formel für den Umfang eines Kreises ist

\(U_{\text{K}}=2\pi\cdot\frac{a}{2}=\pi a\) und \(U_{\text{k}_1}=U_{\text{k}_2}=2\pi\cdot\frac{a}{4}=\frac{\pi}{2}a\).

Der Umfang der blauen Figur umfasst von jedem der drei Teilkreise den halben Umfang, also ist
\(\begin{align*} U&=\frac{1}{2}U_{\text{K}}+\frac{1}{2}U_{\text{k}_1}+\frac{1}{2}U_{\text{k}_2}\\ &=\frac{1}{2}\pi a+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}a+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}a\\ &=\frac{1}{2}\pi a\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ &=\pi a. \end{align*}\)

Schritt 2: Flächeninhalt und Umfang berechnen

Einsetzen von \(a=20\text{ cm}\) in die oben hergeleiteten Formeln liefert
\(\begin{align*} A&=\frac{3}{16}\pi a^2=\frac{3}{16}\pi\cdot(20\text{ cm})^2\\ &=\frac{3\cdot 400}{16}\pi\text{ cm}^2\\ &=75\pi\text{ cm}^2\\ &\approx 235,62\text{ cm}^2 \end{align*}\)

für den Flächeninhalt der blauen Figur und

\(\begin{align*} U&=\pi a=\pi\cdot 20\text{ cm}\\ &=20\pi\text{ cm}\\ &\approx 62,83\text{ cm} \end{align*}\)

für deren Umfang.

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