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Wie du den Schnittwinkel zweier Graphen bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Schnittwinkel zweier Graphen bestimmst

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \( f:x\longmapsto 2-\sqrt{12-2x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f=\,]{-\infty};6]\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet. Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(h:x\longmapsto-\frac{1}{2}x^2+2x+4 \) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel.

Zeichne die Parabel \(G_h\) im Bereich \(-2\leq x\leq 4\).

Spiegelt man diesen Teil von \(G_h\) an der Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten, so entsteht eine herzförmige Figur. Durch die herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden.

Berechne den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

Wie du den Schnittwinkel zweier Graphen bestimmst - Abbildung 1

Schritt 1: Skizze anfertigen

Wie du den Schnittwinkel zweier Graphen bestimmst - Abbildung 2

Die herzförmige Figur besteht aus dem Teil des Graphen \(G_h\) zwischen \(x=-2\) und \(x=4\) sowie dessen Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(w\). Die Blattspitze liegt bei \((-2|{-2})\). Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel der beiden blau eingezeichneten Tangenten in diesem Punkt.

Für die Berechnung des Schnittwinkels brauchst du nur die Steigungen der beiden blauen Tangenten. Diejenige am oberen Blattrand hat die gleiche Steigung wie die Funktion \(h\) an der Stelle \(x=-2\). Der untere Blattrand wird durch die Spiegelung von \(G_h\) an \(w\) dargestellt und die stimmt laut Aufgabentext im Bereich \( -2\leq x\leq 4\) mit dem Graphen von \(f\) überein. Die Steigung der Tangente am unteren Blattrand ist also die Steigung von \(f\) an der Stelle \(x=-2\). Die Steigung eines Graphen wird über die Ableitungsfunktion bestimmt, die wir als Nächstes brauchen.

Schritt 2: Ableitungen der beiden Funktionen bestimmen

Oberer Blattrand:

\(h(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+4\Longrightarrow h'(x)=-x+2\)

Unterer Blattrand:

\(f(x)=2-\sqrt{12-2x}=2-(12-2x)^{\frac{1}{2}}\Longrightarrow f'(x)=-\frac{1}{2}(12-2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2)=\frac{1}{\sqrt{12-2x}}\)

Schritt 3: Steigungen der beiden Graphen an der Blattspitze berechnen

Die Steigung der Tangente am oberen Blattrand ist \(h'(-2)=-(-2)+2=4\) nach Schritt 2. Die Steigung der Tangente am unteren Blattrand ist \(f'(-2)=\frac{1}{\sqrt{12-2\cdot(-2)}}=\frac{1}{\sqrt{12+4}}=\frac{1}{4}\).

Schritt 4: Schnittwinkel berechnen

Wie man anhand der Skizze erkennt, ist der gesuchte Winkel kleiner als 90°. Also kann er mithilfe der Standardformel für den Schnittwinkel zweier Graphen berechnet werden. Diese lautet

\(\tan(\varphi)=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|\),

wobei \(m_1\) und \(m_2\) die Steigungen der beiden Graphen im Schnittpunkt und \(\varphi\) der Schnittwinkel ist. In unserem Fall ist laut Schritt 3 \(m_1=4\) und \(m_2=\frac{1}{4}\). Setzt man diese Werte in obige Formel ein, so ergibt sich:

\(\begin{align*} \tan(\varphi)=\left|\frac{4-\frac{1}{4}}{1+4\cdot \frac{1}{4}}\right|=\left|\frac{\frac{15}{4}}{2}\right|=\frac{15}{8}\Longrightarrow\varphi\approx 61{,}93° \end{align*}\)

Lösung

Der Öffnungswinkel an der Blattspitze beträgt im Modell etwa 61,93°.

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