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Wie du den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene bestimmst

Aufgabe

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(1|-1|3)\) und \(B(2|-3|0)\).

Die Ebene \(E\) wird von \(g\) orthogonal geschnitten und enthält den Punkt \(C(4|3|-8)\).

Bestimme den Schnittpunkt \(S\) von \(g\) und \(E\).

Schritt 1: ggf. Koordinatengleichung der Ebene und Parametergleichung der Gerade bestimmen

Bei manchen Aufgaben zur Bestimmung des Schnittpunktes einer Geraden mit einer Ebene ist die Ebene bereits in Koordinatenform gegeben und man hat eine Parametergleichung der Geraden. Hier müssen wir aber diese erst mal bestimmen.

Die Gerade geht durch die Punkte \(A\) und \(B\), also kannst du als Stützvektor für eine Parametergleichung von \(g\) den Ortsvektor von \(A\) nehmen und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der beiden Punkte, also:

\(\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &=\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix} \end{align*}\)

Als Parameter nimmst du irgendeinen Buchstaben, der noch nicht vergeben ist, z. B. \(\lambda\). Somit bekommst du die Geradengleichung:

\(g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\)

Jetzt brauchen wir noch eine Koordinatengleichung der Ebene \(E\). Dazu brauchst du als Erstes einen Normalenvektor von \(E\). Da die Gerade laut Aufgabenstellung senkrecht auf der Ebene steht, kannst du den Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) der Geraden als Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene nehmen.

\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\)

Die drei Komponenten dieses Vektors (\(1\), \(-2\) und \(-3\)) sind die Koeffizienten der Variablen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in der Koordinatengleichung. Sie lautet also

\(E:1x_1-2x_2-3x_3=d\)

für irgendein \(d\in\mathbb{R}\), das du noch bestimmen musst.

Dazu setzt du die Koordinaten des Punktes \(C\) (der ja laut Aufgabenstellung in der Ebene \(E\) liegt) in die Koordinatengleichung ein.

\(1\cdot 4-2\cdot 3-3\cdot(-8)=d\Longrightarrow d=22\)

Also lautet die vollständige Koordinatengleichung:

\(E:x_1-2x_2-3x_3=22\)

Schritt 2: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter auflösen

Die in Schritt 1 bestimmte Geradengleichung

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\)

spaltest du jetzt in ihre einzelnen Komponenten:

\(\begin{alignat*}{2} x_1&=&1&+&\lambda\\ x_2&=&-1&-2&\lambda\\ x_3&=&3&-3&\lambda \end{alignat*}\)

Diese setzt du in die Koordinatengleichung der Ebene ein und erhältst:

\(1+\lambda-2(-1-2\lambda)-3(3-3\lambda)=22\)

Zusammenfassen und nach \(\lambda\) auflösen liefert:

\(-6+14\lambda=22\Longleftrightarrow\lambda=\frac{28}{14}=2\)

Schritt 3: Parameter in Geradengleichung einsetzen

Den in Schritt 2 bestimmten Parameter \(\lambda=2\) setzt du jetzt in die rechte Seite der Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Schnittpunktes \(S\) zu erhalten.

\(\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-5\\-3\end{pmatrix}\)

Der Punkt \(S\) hat somit die Koordinaten \(S(3|-5|-3)\).
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