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Wie du den Radius eines Kreises berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Radius eines Kreises berechnest

Aufgabe

Ein zylinderförmiges Wasserglas ist \(13\text{ cm}\) hoch. Der Inhalt der äußeren Oberfläche beträgt \(87\pi\text{ cm}^2\).

Berechne den Radius der Grundfläche.

Schritt 1: Formel für den Oberflächeninhalt nutzen

Die äußere Oberfläche des Glases besteht aus der zylindrischen Mantelfläche und dem Boden. Die zugehörigen Flächen sind

\(A_{\text{Mantel}}=2\pi\cdot r\cdot h\) und \(A_{\text{Boden}}=\pi\cdot r^2\),

wobei \(r \) der Radius der Grundfläche (Glasboden) und \(h\) die Höhe des Glases ist. Die gesamte äußere Oberfläche ist also

\(A=A_{\text{Mantel}}+A_{\text{Boden}}=2\pi\cdot r\cdot h+\pi\cdot r^2\).

Schritt 2: Werte einsetzen und nach r umstellen

Laut Aufgabenstellung ist die Höhe \(h=13\text{ cm}\) und die äußere Oberfläche beträgt \(87\pi\text{ cm}^2\), d. h. es gilt

\(A=2\pi\cdot r\cdot 13\text{ cm}+\pi\cdot r^2=87\pi\text{ cm}^2 \).

Diese Gleichung musst du nach \( r \) auflösen, um den Radius berechnen zu können.

Vereinfache die Gleichung zuerst, indem du durch \(\pi\) teilst und für einen Moment ohne Einheiten rechnest:
\(2\cdot r\cdot+r^2=87\) bzw.

\(r^2+26\cdot r-87=0\).

Jetzt kannst du die quadratische Lösungsformel anwenden und erhältst

\(\color{green} {r=\frac{-26\pm\sqrt{26^2-4\cdot 1\cdot(-87)}}{2}}\).

Die rechte Seite vereinfachst du am besten wie folgt:

\(26^2=(2\cdot 13)^2=2^2\cdot 13^2=4\cdot 169\).

Also kannst du die Quadratzahl \(4 \) unter der Wurzel ausklammern und aus der Wurzel herausziehen:


\(\begin{align*} \sqrt{26^2-4\cdot 1\cdot(-87)}&=\sqrt{4\cdot 169+4\cdot87}=\sqrt{4\cdot(169+87)}\\ &=2\sqrt{169+87}=2\sqrt{256}=2\cdot 16\\ &=32. \end{align*}\)

Setze \(\sqrt{26^2-4\cdot 1\cdot(-87)}=32\) in die grüne Formel ein und erhalte

\(r=\frac{-26\pm 32}{2}=-13\pm 16\).

Der gesuchte Radius ist natürlich nicht negativ, also brauchst du die größere der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung: \(r=-13+16=3\).

Jetzt musst du die Einheiten wieder einführen, die du zur Vereinfachung der Rechnung weggelassen hast.

Lösung

Alle Größen waren in Zentimeter gegeben, also ist der gesuchte Radius des Glasbodens \(r=3\text{ cm}\).

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