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Wie du den Neigungswinkel einer Geraden zu einer Ebene bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Neigungswinkel einer Geraden zu einer Ebene bestimmst

Aufgabe

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A(6|1|0)\), \(B(2|3|0)\) und \(P(3|0|2{,}5)\).

Unter welchem Winkel schneidet \(E\) die \(x_1\)-Achse?

Schritt 1: Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene bestimmen

Die \(x_1\)-Achse hat den Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).

Die Ebene \(E\) geht durch die drei vorgegebenen Punkte \(A\), \(B\) und \(P\), also kann man die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AP}\) als Spannvektoren (Richtungsvektoren) der Ebene auffassen.

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}\) und

\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\0\\2,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}\)

Der Normalenvektor muss auf diesen beiden Spannvektoren senkrecht stehen. Es gibt zwei Methoden, einen solchen Vektor zu bestimmen: entweder durch Lösen eines linearen Gleichungssystems oder mithilfe des Kreuzproduktes.

Die erste Methode, aus den zwei Spannvektoren einen Normalenvektor zu bekommen, geht wie folgt.

Der gesuchte Vektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\) soll senkrecht auf die beiden Spannvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AP}\) sein, also sind die zugehörigen Skalarprodukte null.

\(\vec{n}\circ\overrightarrow{AB}=0\) und \(\vec{n}\circ\overrightarrow{AP}=0\)

Einsetzen der Koordinaten von \(\vec{n}\)\(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AP}\) liefert die Gleichungen:

\(n_1\cdot(-4)+n_2\cdot 2+n_3\cdot 0=0\) und

\(n_1\cdot(-3)+n_2\cdot(-1)+n_3\cdot 2,5=0\)

So ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem.

\(\begin{alignat*}{3} &\text{I:}&-4&n_1&+2&n_2&&=0\\ &\text{II:}&-3&n_1&-&n_2&+2{,}5n_3&=0 \end{alignat*}\)

Eine Komponente von \(\vec{n}\) können wir gleich 1 setzen, z. B. \(n_2=1\). Somit ergibt sich aus I die Gleichung \(-4n_1+2=0\), also \(n_1=0{,}5\). Setzt man \(n_2=1\) und \(n_1=0{,}5\) in II ein, so ergibt sich \(-3\cdot 0{,}5-1+2{,}5n_3=0\), also \(n_3=1\). Das liefert den Normalenvektor:

\(\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5\\1\\1\end{pmatrix}\)

Um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten, verdoppeln wir alle Komponenten und erhalten den neuen Normalenvektor.

\(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\)

Am schnellsten erhältst du einen Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. Wenn du das in der Schule behandelt hast, dann kannst du auch diesen Weg nehmen.

\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\-1\\2{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\\10\end{pmatrix}\)

Teilen der Koordinaten durch 5 liefert den einfacheren Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\).

Schritt 2: Formel für den Winkel zwischen Gerade und Ebene anwenden

Hat man einmal den Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden und den Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene, so ist die Berechnung des Schnittwinkels \(\varphi\) über die folgende Formel möglich.

\(\sin(\varphi)=\left|\frac{\vec{v}\circ\vec{n}}{\left|\vec{v}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}\right|\)

Für den vorliegenden Fall ergibt sich:

\(\begin{align*} \sin(\varphi)&=\left|\frac{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|}\right|\\ &=\left|\frac{1\cdot 1+0\cdot 2+0\cdot 2}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right|\\ &=\left|\frac{1}{1\cdot\sqrt{9}}\right|\\ &=\frac{1}{3} \end{align*}\)

Da es sich nicht um einen stumpfen Winkel handeln kann, liefert die im Taschenrechner verfügbare Umkehrfunktion des Sinus den gesuchten Winkel, nämlich:

\(\varphi=\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=19{,}47^{\circ}\)

Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1\)-Achse unter einem Winkel von etwa 19,5°.
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