Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du den Erwartungswert für ein Zufallsexperiment berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Erwartungswert für ein Zufallsexperiment berechnest

Aufgabe

Beim abgebildeten Spielautomaten beträgt der Einsatz pro Spiel 1 €. Man erhält 7 €, wenn im roten Rahmen 2 Asse erscheinen, außerdem 2 €, wenn im roten Rahmen 2 andere gleiche Symbole erscheinen.
Ist das Spiel fair?

Wie du den Erwartungswert für ein Zufallsexperiment berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Mögliche Ausgänge des Spiels auflisten

Um zu entscheiden, ob das Spiel fair ist, musst du prüfen, ob die durchschnittliche Auszahlung nach einer Runde genauso hoch ist wie der Einsatz. Die durchschnittliche Auszahlung errechnet sich aus den Auszahlungsbeträgen für jeden möglichen Ausgang einer Runde unter Berücksichtigung der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Der Spielautomat hat 2 Drehscheiben mit je 5 verschiedenen Symbolen. Es gibt also insgesamt \(5\cdot 5=25\) mögliche Ausgänge, die alle gleich wahrscheinlich sind. Diese können – angesichts der Spielregeln – in 3 Kategorien eingeteilt werden:

  1. Hauptgewinn: Es erscheinen 2 Asse.
  2. Nebengewinn: Es erscheinen 2 gleiche Symbole, aber keine Asse.
  3. Kein Gewinn: Es erscheinen 2 unterschiedliche Symbole.

Für das Spiel relevant sind nur diese 3 Kategorien: Die Auszahlung ist beim Hauptgewinn 7 €, beim Nebengewinn 2 € und sonst 0 €.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen

Wahrscheinlichkeit von „zwei Asse“

Der Hauptgewinn wird nur bei einer der 25 möglichen Symbolkombinationen ausgezahlt, nämlich wenn die rechte und die linke Drehscheibe ein Ass anzeigen. Die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn von 7 € ist demnach \( \frac{1}{25}=0,04\).

Wahrscheinlichkeit von „zwei andere gleiche Symbole“

Zum Nebengewinn führen 4 der 25 möglichen Symbolkombinationen, nämlich „zweimal 10, zweimal Bube, zweimal Dame und zweimal König. Die Wahrscheinlichkeit für den Nebengewinn von 2 € beträgt also \(\frac{4}{25}=0,16\).

Wahrscheinlichkeit von „zwei unterschiedliche Symbole“

Haupt- und Nebengewinn decken 5 der insgesamt 25 möglichen Symbolkombinationen ab. Also bleiben noch 20 Kombinationen übrig, bei denen der Spielautomat kein Geld auszahlt. Die Wahrscheinlichkeit, dass 0 € ausgezahlt werden, beträgt somit \(\frac{20}{25}=\frac{4}{5}=0,8\).

Schritt 3: Erwartungswert der Auszahlung berechnen

Trage zuerst in einer übersichtlichen Tabelle die Ergebnisse von Schritt 2 ein.

Auszahlungsbetrag

0 €

2 €

7 €

Wahrscheinlichkeit

0,8

0,16

0,04

Der Erwartungswert ist die gewichtete Summe der möglichen Auszahlungsbeträge, wobei jeder Betrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichtet wird.

\(\begin{align*} \text{Durchschnittlicher Auszahlungsbetrag }&=0\text{ €}\cdot 0,8+2\text{ €}\cdot 0,16+7\text{ €}\cdot 0,04\\ &=0,32\text{ €}+0,28\text{ €}\\ &=0,60\text{ €} \end{align*} \)

Der Einsatz pro Spiel ist 1 €, also mehr als die gerade berechnete durchschnittliche Auszahlung. Somit ist das Spiel nicht fair.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Videos findest du hier