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Wie du den Differenzenquotienten grafisch bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Differenzenquotienten grafisch bestimmst

Aufgabe

Zwischen Bachhausen und Bergdorf soll eine Bahnstrecke gebaut werden. Wie groß ist die mittlere Steigung dieser Bahnstrecke?

Wie du den Differenzenquotienten grafisch bestimmst - Abbildung 1

Hinweis

Um die mittlere Steigung oder die mittlere Änderungsrate zu bestimmen, musst du immer den Differenzenquotienten berechnen.

Schritt 1: Zeichne das Steigungsdreieck ein

Zeichne zwischen den in der Aufgabe angegebenen Punkten ein Steigungsdreieck ein, in diesem Fall zwischen den Punkten von Bachhausen und Bergdorf. 

Wie du den Differenzenquotienten grafisch bestimmst - Abbildung 2

Schritt 2: Bestimme den Unterschied der x-Werte der beiden Punkte

Bergdorf besitzt den x-Wert 45 und Bachhausen den x-Wert 20. Die Differenz beträgt also: 45 − 20 = 25. Denk an die Einheit; sie ist hier Kilometer. Die Differenz beträgt folglich 25 km.

Wie du den Differenzenquotienten grafisch bestimmst - Abbildung 3

Schritt 3: Bestimme den Unterschied der Funktionswerte der beiden Punkte

Der y-Wert und damit der Funktionswert von Bergdorf beträgt 900, der von Bachhausen 400. Das ergibt eine Differenz von 500, mit der entsprechenden Einheit 500 m.

Wie du den Differenzenquotienten grafisch bestimmst - Abbildung 4

 

Schritt 4: Setze diese Differenzen in die Formel für den Differenzenquotienten ein

Die Formel für den Differenzenquotienten lautet:

\(\frac{f(x_{2})\ -\ f(x_{1})}{x_{2}\ -\ x_{1}}\)

Im Zähler steht also die Differenz der Funktionswerte und im Nenner die Differenz der x-Werte, die wir oben bereits berechnet haben. Damit ergibt sich für den Differenzenquotienten und damit auch für die mittlere Steigung:

\(\frac{500\ m}{25\ km}=20\ \frac{m}{km}\)

Lösung

Die mittlere Steigung zwischen Bachhausen und Bergdorf beträgt \(20\ \frac{m}{km}\). Das bedeutet, dass das Gelände zwischen den beiden Orten pro Kilometer in horizontaler Richtung durchschnittlich um 20 m ansteigt.

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