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Wie du den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnest

Aufgabe

Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O(0|0|0)\), \(A(\sqrt{2}|0|0)\)\(B(\sqrt{2}|1|0)\) und \(C(0|1|0)\) sowie der Punkt \(D(1|1|0)\). Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline{OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.

Bestimme den Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(OD\).

Wie du den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnest - Abbildung 1

Hinweis

Hier wird eine eigentlich leichte Aufgabenstellung in einen komplizierten und langen Text eingebettet. Da ein Großteil der gegebenen Informationen für die Lösung dieser Aufgabe irrelevant ist, besteht deine Hauptaufgabe darin, herauszufiltern, dass nur die Koordinaten der Punkte \(O\), \(C\) und \(D\) gebraucht werden.

Schritt 1: Lotfußpunkt bestimmen

Wichtige Informationen herausfiltern und Skizze entsprechend vereinfachen

Filtere die relevanten Informationen heraus, die du zur Lösung der Aufgabe brauchst, und fertige eine vereinfachte und damit übersichtlichere Skizze an.

Bezeichne die Gerade durch \(O\) und \(D\) mit \(g\). Der Abstand vom Punkt \(C\) zu \(g\) ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt \(C\) und der Geraden. Diese Verbindungsstrecke heißt Lot von \(C\) auf \(g\) und steht senkrecht auf der Geraden \(g\).

Wie du den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnest - Abbildung 2

Parameterform der Geraden \(g\) aufstellen

Eine Parameterform von \(g\) lautet:

\(g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow {OO}+\lambda\cdot \overrightarrow{OD}=\lambda\cdot \left(\begin{array}{}1\\ 1\\0\end{array}\right)\)

Ausnutzen, dass \(F\) auf \(g\) liegt

Der Lotfußpunkt des Lotes von \(C\) auf \(g\) sei \(F\) (siehe Abbildung). Da \(F\) auf \(g\) liegt, gibt es ein \(\lambda \in \mathbb{R}\), sodass \(\overrightarrow{OF}=\lambda\cdot \left(\begin{array}{}1\\ 1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda\\ \lambda\\0\end{array}\right)\) ist.

Skalarprodukt anwenden

Die Bedingung, dass die gestrichelte Linie senkrecht auf \(g\) steht, lässt sich mithilfe des Skalarproduktes ausdrücken.

\(\overrightarrow{CF}\circ \left(\begin{array}{}1\\ 1\\0\end{array}\right)=0\), wobei \(\overrightarrow{CF}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda-0\\ \lambda-1\\0-0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\lambda+\lambda-1 \). Es gilt also \(2\lambda-1=0\Longleftrightarrow\lambda=\frac{1}{2}\).

Ortsvektor bestimmen

Setzt du diesen Wert für \(\lambda\) in die Geradengleichung für \(g\) ein, so bekommst du den Ortsvektor des Lotfußpunktes. \(\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\0\end{array}\right)\Longrightarrow F\left(\frac{1}{2}\left|\frac{1}{2}\right|0\right)\) 

Schritt 2: Abstand ausrechnen

Einsetzen der Koordinaten von \(C\) und \(F\) in die Standardformel zur Berechnung eines Vektors

Da \(F\) der nächste Punkt auf \(g\) ist, ist der Abstand des Punktes \(C\) zur Geraden \(OD\) genau der Abstand von \(C\) zum Lotfußpunkt \(F\), also:

\(d(C, g)\) \(= d(C, F)\) Der Abstand zweier Punkte ist immer die Länge des Verbindungsvektors
  \(=\left|\overrightarrow{CF}\right|\)  
  \(=\left|\left(\begin{array}{c}0{,}5-1 \\ 0{,}5-1\\0-0\end{array}\right)\right|\) Einsetzen der Koordinaten
  \(=\left|\left(\begin{array}{c}0{,}5 \\ -0{,}5\\0\end{array}\right)\right|\) Formel für die Länge eines Vektors
  \(=\sqrt{0{,}5²+(-0{,}5)²+0²}\)  
  \(=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)  

Lösung

Der Abstand von \(C\) zur Geraden \(\overline{OD}\) beträgt \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) LE.

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