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Wie du das Volumen von Kegeln berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du das Volumen von Kegeln berechnest

Aufgabe

Bestimme das Volumen eines Kegels mit dem Durchmesser \(d = 10\ cm\) und der Mantellinie \(s = 13\ cm\).

Wie du das Volumen von Kegeln berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Bestimme die Volumenformel

In diesem Fall verwendest du die Volumenformel für alle spitz zulaufenden Körper:

\(V= \frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h\)

\(A_G\) ist der Flächeninhalt der Grundfläche, \(h\) die Höhe des Körpers.

Bei einem Kegel ist die Grundfläche immer ein Kreis. Deshalb gilt:

\(A_G=\pi \cdot r^2\)

Deine Volumenformel für den Kegel lautet somit:

\(V_{Ke}= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Schritt 2: Bestimme den Radius und die Höhe

Da du nur den Durchmesser \(d\) und die Länge der Mantellinie \(s\) kennst, musst du erst den Radius \(r\) und die Höhe \(h\) des Kegels berechnen. Den Radius kannst du einfach bestimmen:

\(d =2r \Rightarrow r= \frac{1}{2}d=\frac{1}{2} 10 \ cm=5 \ cm\)

Die Höhe ermittelst du mit dem Satz des Pythagoras, da der Radius, die Höhe und die Mantellinie ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

\(s²=r²+h²\)

Wie du das Volumen von Kegeln berechnest - Abbildung 2

\((13 \ cm)²= (5 \ cm)²+h² \Rightarrow h²=(13 \ cm)²-(5 \ cm)²=169 \ cm² -25 \ cm² =144 \ cm² \)

\(\Rightarrow h=12 \ cm \)

Schritt 3: Berechne das Volumen

Setze die gegebenen Werte in deine Volumenformel ein.

\(V_{Ke}= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \ cm)^2 \cdot 12 \ cm= \frac{300}{3} \cdot \pi \ cm^3\approx314,2 \ cm^3\)

Lösung

Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr \(314,2 \ cm^3\).

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