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Wie du das Gegenereignis geschickt einsetzt


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du das Gegenereignis geschickt einsetzt

Aufgabe

Wie du das Gegenereignis geschickt einsetzt - Abbildung 1

Das abgebildete Baumdiagramm gehört zu einem Urnenexperiment. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: Mindestens ein S wird gezogen.

Hinweis

Der Trick bei dieser Aufgabe ist es, zu erkennen, dass du die Aufgabe viel schneller löst, wenn du mit dem Gegenereignis, in diesem Fall WW, rechnest, anstatt alle Einzelwahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Schritt 1: Gegenereignis betrachten

Das Ereignis E umfasst die drei Ausgänge WS, SW und SS, also alle außer WW.

Du könntest die drei Einzelwahrscheinlichkeiten P(WS), P(SW) und P(SS) berechnen und P(E) als Summe dieser drei Werte erhalten. Viel schneller bist du aber, wenn du das Gegenereignis berechnest. E tritt nämlich genau dann ein, wenn WW nicht eintritt, d. h., E ist das Gegenereignis zu WW. Somit ist

P(E) = 1 − P(WW)

und P(WW) kannst du ohne Weiteres aus den angegebenen Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen

Nach Schritt 1 brauchen wir P(WW). Diese Wahrscheinlichkeit wird mit der Pfadmultiplikationsregel berechnet: Das Ereignis WW entspricht dem oberen Pfad im Baumdiagramm. Auf beiden Stufen dieses Pfades findet sich die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich \(\frac{2}{3}\).

Also ist P(WW) =\(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\).

Wie schon in Schritt 1 festgestellt, ist dann

P(E) = 1 - P(WW) = \(1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\).

Lösung

P(E) = \(\frac{5}{9}\)

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