Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnest

Aufgabe

Nachdem die Verfilmung eines bekannten Romans erfolgreich in den Kinos gezeigt wurde, veröffentlicht eine Tageszeitung das Ergebnis einer repräsentativen Umfrage unter Jugendlichen. Der Umfrage zufolge hatten 88 % der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen, 18 % sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts gelesen hatten, gaben 60 % an, die Verfilmung gesehen zu haben.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

R: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen.“

V: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage die Verfilmung.“

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, angab, die Verfilmung gesehen zu haben.

Schritt 1: Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ansetzen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person die Verfilmung gesehen hat, unter der Bedingung, dass sie den Roman noch nicht gelesen hat. Das ist nicht zu verwechseln mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person die Verfilmung gesehen hat und den Roman noch nicht gelesen hat. Im ersten Fall ist die Bedingung (den Roman noch nicht gelesen zu haben) sicher erfüllt, im zweiten Fall nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit.

Hier brauchst du also die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Bedingung (also das, was im betrachteten Fall sicher erfüllt ist, nämlich dass der Roman nicht gelesen wurde) ist das Gegenereignis zu \(R\) (siehe Aufgabenstellung). Das Ereignis, dass die Person die Verfilmung gesehen hat, heißt \(V\). Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit von \(V\) unter der Bedingung \(\overline{R}\) und die errechnet sich wie folgt:

\(\color{green} {P_{\overline{R}}(V)=\frac{P\left(V\cap\overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)}}\)

Schritt 2: Fehlende Teilwahrscheinlichkeiten ausrechnen

Für die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit brauchst du also Zähler und Nenner auf der rechten Seite der grünen Gleichung. Der Nenner, \(P(\overline{R})\), wird gleich als Erstes genannt: 88 % haben den Roman nicht gelesen. Notiere also \(P\left(\overline{R}\right)=0{,}88\).

Der Zähler, \(P(V\cap\overline{R})\), ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die Verfilmung gesehen, aber den Roman nicht gelesen hat. Diese wird im Aufgabentext nicht direkt angegeben, aber dafür \(P(V)=0{,}18\) (Anteil der Jugendlichen, die die Verfilmung gesehen haben) und \(P_R(V)=0{,}6\) (Anteil derer, die die Verfilmung gesehen haben, unter denen, die den Roman gelesen haben).

Aus diesen Angaben kannst du eine Vierfeldertafel erstellen, von der du aber nicht alle Felder ausrechnen musst. Trage zuerst \(P(\overline{R})\) und \(P(V)\) ein, die schon angegeben sind.

Verfilmung

Roman

V (gesehen)

\(\overline{V}\) (nicht gesehen)

insgesamt

R (gelesen)

\(P(V\cap R)\)

\(P(\overline{V}\cap R)\)

\(P(R)\)

\(\overline{R} \)(nicht gelesen)

\(P(V\cap\overline{R})\)

\(P(\overline{V}\cap \overline{R})\)

\(P\left(\overline{R}\right)=0{,}88\)

insgesamt

\(P(V)=0{,}18\)

\(P(\overline{V})\)

\(1\)

Die Information \(P_R(V)=0{,}6\) musst du zuerst mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit umformen. Es gilt:

\(P_R(V)=\frac{P(V\cap R)}{P(R)}\Longrightarrow P(V\cap R)=P_R(V)\cdot P(R)\), also:

\(P(V\cap R)=0{,}6\cdot P(R)\)

Ferner ist \( P(R)=1-P(\overline{R})=1-88\,\%=0{,}12\). Somit folgt \(P(V\cap R)=0{,}6\cdot 0{,}12=0{,}072\).

Jeder, der die Verfilmung gesehen hat, hat entweder den Roman gelesen oder nicht, das heißt, es gilt

\(P(V)=P(V\cap R)+P(V\cap\overline{R})\Longrightarrow P(V\cap\overline{R})=P(V)-P(V\cap R)\), also gleich \(0{,}18-0{,}072=0{,}108\).

Hier also eine aktualisierte Vierfeldertafel:

Verfilmung

Roman

V (gesehen)

\(\overline{V}\) (nicht gesehen)

insgesamt

R (gelesen)

\(P(V\cap R)=0{,}072\)

\(P(\overline{V}\cap R)\)

\(P(R)=0{,}12\)

\(\overline{R} \)(nicht gelesen)

\(P\left(V\cap\overline{R}\right)=0{,}108\)

\(P(\overline{V}\cap \overline{R})\)

\(P(\overline{R})=0{,}88\)

insgesamt

\(P(V)=0{,}18\)

\(P(\overline{V})\)

\(1\)

Einsetzen von Zähler (\(P(V\cap\overline{R})\)) und Nenner (\(P(\overline{R})\)) in die grüne Formel liefert:

\(P_{\overline{R}}(V)=\frac{0{,}108}{0{,}88}\approx 0{,}123\)

Wird also eine Person befragt, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, so gibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 12,3 % an, die Verfilmung gesehen zu haben.

Bemerkung

Die vollständige Vierfeldertafel lautet:

Verfilmung

Roman

V (gesehen)

\(\overline{V}\) (nicht gesehen)

insgesamt

R (gelesen)

\(P(V\cap R)=0{,}072\)

\(P\left(\overline{V}\cap R\right)=0{,}048\)

\(P(R)=0{,}12\)

\(\overline{R} \)(nicht gelesen)

\(P\left(V\cap\overline{R}\right)=0{,}108\)

\(P\left(\overline{V}\cap \overline{R}\right)=0{,}772\)

\(P\left(\overline{R}\right)=0{,}88\)

insgesamt

\(P(V)=0{,}18\)

\(P\left(\overline{V}\right)=0{,}82\)

\(1\)

Drei der neun Zahlenwerte wurden für diese Aufgabe nicht gebraucht, das entspricht einer Zeitersparnis von gut 33 % für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Videos findest du hier