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Wie du aus den Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate die Koordinaten des fehlenden Punktes bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du aus den Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate die Koordinaten des fehlenden Punktes bestimmst

Aufgabe

Welcher Punkt A wird im dreidimensionalen euklidischen Raum von dem Vektor \(\overrightarrow{c}= \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 3\end{array}\right)\) in den Punkt B(3|2|6) verschoben?

Schritt 1: Stelle Vorüberlegungen an

Bevor du an die Lösung dieser Aufgabe gehst, solltest du Vorüberlegungen anstellen.

Man kann Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten nicht zusammenrechnen. Das geht nicht! Du musst zuerst jeweils den Ortsvektor eines Punktes bestimmen. Das ist der Vektor, der den Ursprung (Nullpunkt) mit dem Punkt verbindet. Erst dann kannst du die Rechengesetze für das Rechnen mit Vektoren anwenden.

Schritt 2: Bestimme die Ortsvektoren

Der Ortsvektor zu einem Punkt besitzt immer dieselben Koordinaten wie der Punkt. Somit kannst du die Koordinaten aus der Aufgabenstellung übernehmen. Der Ortsvektor \(\overrightarrow{0B} =\overrightarrow{b}\) zu dem Punkt B lautet daher \(\overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\6\end{array}\right)\). Für den Ortsvektor des gesuchten Punktes A verwendest du eine sinnvolle Bezeichnung, z. B. \(\overrightarrow{0A} =\overrightarrow{a}\). Du kannst aber auch \(\overrightarrow{x}\) verwenden, da der Ortsvektor vom Punkt A die gesuchte Größe ist.

Schritt 3: Bestimme einen geschlossenen Vektorzug

Du solltest dir die Lage der Vektoren im Koordinatensystem vorstellen können. Eine Skizze kann dir helfen, einen Überblick zu erhalten.

Wie du aus den Vektorkoordinaten und einer Punktkoordinate die Koordinaten des fehlenden Punktes bestimmst - Abbildung 1

In der Skizze kannst du erkennen, dass die Ortsvektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{c}\) der Punkte A und B einen geschlossenen Vektorzug bilden. Das bedeutet, die Summe dieser Vektoren (bzw. ihrer Gegenvektoren) ergibt den Nullvektor \(\overrightarrow{0}\), da alle Verschiebungen zusammen wieder zum Ausgangspunkt führen. Also: Es findet keine Verschiebung statt! Du musst diesen Zusammenhang in eine Gleichung überführen. Starte mit deinem Vektorzug im Ursprung, gehe dann weiter zum Punkt A, dann zum Punkt B und wieder zurück zum Ursprung:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{(-b)}=\overrightarrow{0}\)

Du musst dabei beachten, dass der Vektorzug zwar der Orientierung von \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{c}\) folgt, jedoch entgegen der Orientierung von \(\overrightarrow{b}\) verläuft. Somit musst du den Gegenvektor \((-\overrightarrow{b})\) verwenden.

Schritt 4: Stelle die Gleichung um

Da du ja den Ortsvektor \(\overrightarrow{a}\) bestimmen willst, musst du jetzt die Gleichung \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{(-b)}=\overrightarrow{0}\) noch nach \(\overrightarrow{a}\) umstellen.

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{(-b)}=\overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{(-b)}=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{c}\) \(\Rightarrow\ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{c}-\overrightarrow{(-b)}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)
\(\Rightarrow\ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

Alternative

Mit dem Wissen, dass für den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{c}\) von den Punkten A und B gilt: \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\), kommst du auch auf die Gleichung:

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

Schritt 5: Bestimme den Punkt A

Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Gleichung \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) ein und bestimme so die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{a}\) und somit auch die Koordinaten des Punktes A.

\(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}3\\2\\6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\6\\3\end{array}\right)\ \Rightarrow\ A(1|6|3)\)

Lösung

Im dreidimensionalen euklidischen Raum verschiebt der Vektor \(\overrightarrow{c}= \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 3\end{array}\right)\) den Punkt A(1|6|3) in den Punkt B(3|2|6).

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