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Wie du Ableitungen berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Ableitungen berechnest

Aufgabe

Bilde die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sqrt{x}\cdot e^{2x}\).

Schritt 1: Struktur der Funktion beschreiben

Es gibt für verschiedene Funktionstypen unterschiedliche Ableitungsregeln. Um zu wissen, welche Regel du brauchst, musst du also erst den Funktionsterm untersuchen. Dabei tauchen folgende Fälle auf.

  1. Funktionsterm ist eine Summe \(\Longrightarrow\) Summanden einzeln ableiten
  2. Funktionsterm ist ein Produkt oder ein Bruch \(\Longrightarrow\) Produkt- bzw. Quotientenregel benutzen
  3. Funktionsterm ist eine Verkettung mehrerer Funktionen \(\Longrightarrow\) Kettenregel anwenden

In unserem Fall ist \(f(x)=\sqrt{x}\cdot e^{2x}\) ein Produkt zweier Funktionen, nämlich:

\(g(x)=\sqrt{x}\) und

\(h(x)=e^{2x}\)

Schritt 2: Rechenregeln anwenden

Die Produktregel besagt:

\(f(x)=g(x)\cdot h(x)\Longrightarrow f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\)

Um die Produktregel anzuwenden, brauchst du also \(g'(x)\) und \(h'(x)\).

Um \(g\) abzuleiten, schreibst du die Wurzel am besten als Potenz und wendest die entsprechende Ableitungsregel an.

\(g(x)=x^n\Longrightarrow g'(x)=n\cdot x^{n-1}\)

In unserem Fall ist \(g(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), also können wir obige Ableitungsregel mit \(n=\frac{1}{2}\) anwenden. Das ergibt:

\(\begin{align*} g'(x)&=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}\\ &=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}\)

Jetzt kennen wir \(g'(x)\). Um die gesuchte Ableitung von \(f\) mit Hilfe der Produktregel zu bestimmen, brauchen wir aber noch \(h'(x)\).

Dabei ist \(h(x)=e^{2x}\) eine Verkettung aus der Exponentialfunktion \(x\longmapsto e^x\) und der Funktion \(x\longmapsto 2x\). Also benutzen wir gemäß Punkt 3 in Schritt 1 die Kettenregel, um \(g\) abzuleiten. Die Regel besagt:

\(F(x)=G(H(x))\Longrightarrow F'(x)=G'(H(x))\cdot H'(x)\)

Bei uns ist \(F(x)=h(x)\), \(G(x)=e^x\) und \(H(x)=2x\). Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung und die Ableitung von \(H(x)=2x\) ist konstant 2. Setze also in obige Formel \(G'(x)=e^x \) und \(H'(x)=2\) ein und erhalte:

\(F'(x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}\), also wegen \(F=h\):

\(h'(x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}\)

Jetzt hast du alle Bausteine zusammen, die du brauchst. Laut Produktregel ist

\(f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\)

und wir kennen jetzt alle Terme auf der rechten Seite, nämlich:

\(g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\( h(x)=e^{2x}\)

\(g(x)=\sqrt{x}\)

\(h'(x)=2e^{2x}\)

Setzt du sie in die Formel für \(f'\) ein, so bekommst du:

\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{2x}+\sqrt{x}\cdot 2e^{2x}\)

Damit hast du die Aufgabe gelöst. Wenn du aber das Ergebnis für eine spätere Teilaufgabe brauchst oder wenn in der Aufgabenstellung eine Vereinfachung des Ableitungsterms gefragt wird, dann solltest du noch den Nenner und den Exponentialterm wie folgt ausklammern:

\(f'(x)=\frac{e^{2x}}{2\sqrt{x}}(1+4x)\)
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