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Wie du Wurzelterme vereinfachst


Aufgabe

Radiziere und fasse so weit wie möglich zusammen. Gib dein Ergebnis in Wurzelschreibweise an.

\(x^2\sqrt{49x^5}+\sqrt{25x^9}-\sqrt{64x^{13}}:x^2\qquad x>0\)

Schritt 1: Summanden einzeln vereinfachen

Wenn ein Term aus mehreren komplizierten Teiltermen besteht, dann bietet es sich an, die einzelnen Bestandteile zunächst getrennt zu behandeln. So ist es übersichtlicher.

Erster Summand

Der erste Summand ist \(x^2\sqrt{49x^5}\). Diesen Term kannst du teilweise radizieren, denn unter der Wurzel steht ein Produkt mit einer Quadratzahl:

\(49x^5=49\cdot x^5\).

Nach der Regel für die Multiplikation von Wurzeln ist für positive Zahlen a und b stets

\(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

Von rechts nach links gelesen, sagt uns diese Regel, dass

\(\sqrt{49\cdot x^5}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{x^5}\)

ist. Wegen \(7\cdot7=49\) ist nun \(\sqrt{49}=7\), also ist

\(\sqrt{49\cdot x^5}=7\sqrt{x^5}\).

Damit ist \(\sqrt{49\cdot x^5}\) teilweise radiziert. 

Auch in  \(x^5\) steckt ein Quadrat: Nach den Rechenregeln für Potenzen ist \(x^5=x^4\cdot x=(x^2)^2\cdot x\)

Deswegen ist

\(\sqrt{x^5}=\sqrt{(x^2)^2\cdot x}=\sqrt{(x^2)^2}\cdot\sqrt{x}\),

wobei \(\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|=x^2\) (die Betragstriche fallen weg, \(x^2\) ist immer größer-gleich null).

Eingesetzt in die vorherige Gleichung liefert das

\(\sqrt{x^5}=\sqrt{(x^2)^2\cdot x}=x^2\cdot\sqrt{x}\).

Damit lässt sich unser erster Summand vereinfachen zu:

\(\color{green}{x^2\sqrt{49x^5}}=x^2\cdot7\sqrt{x^5}=x^2\cdot7x^2\cdot\sqrt{x}\color{green}{=7x^4\sqrt{x}}\).

Zweiter Summand

Der nächste Summand ist \(\sqrt{25x^9}\). Auch diesen Term kannst du teilweise radizieren, denn unter der Wurzel steht ein Produkt mit einer Quadratzahl:

\(25x^9=25\cdot x^9\).

Nach der Regel für die Multiplikation von Wurzeln ist

\(\sqrt{25\cdot x^9}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{x^9}\).

Wegen \(5\cdot5=25\) ist nun \(\sqrt{25}=5\), also ist

\(\sqrt{25\cdot x^9}=5\sqrt{x^9}\).

Auch in  \(x^9 \) steckt ein Quadrat: Nach den Rechenregeln für Potenzen ist \(x^9=x^8\cdot x=(x^4)^2\cdot x\).

Deswegen ist

\(\sqrt{x^9}=\sqrt{(x^4)^2\cdot x}=\sqrt{(x^4)^2}\cdot\sqrt{x}\),

wobei \(\sqrt{(x^4)^2}=x^4=x^4\)

Eingesetzt in die vorherige Gleichung liefert das

\(\sqrt{x^9}=\sqrt{(x^4)^2\cdot x}=x^4\cdot\sqrt{x}\).

Damit lässt sich unser zweiter Summand vereinfachen zu:

\(\color{green}{5\sqrt{x^9}=5x^4\cdot\sqrt{x}}\).

Dritter Summand

Der letzte Summand ist \(-\sqrt{64x^{13}}:x^2\). Dessen Teilterm \(\sqrt{64x^{13}}\) kannst du erneut teilweise radizieren, denn unter der Wurzel steht ein Produkt mit einer Quadratzahl:

\(64x^{13}=64\cdot x^{13}\).

Diesmal verkürzen wir die Rechnung, indem wir gleich erkennen, dass \( x^{13}=x^{12}\cdot x\) als Produkt mit einem quadratischen Faktor geschrieben werden kann. Somit ist

\(64\cdot x^{13}=64x^{12}\cdot x\),

wobei \(64x^{12}\) ein Quadrat ist: \(64x^{12}=(8x^6)^2\).

Nach der Regel für die Multiplikation von Wurzeln ist somit

\(\sqrt{64\cdot x^{13}}=\sqrt{64x^{12}}\cdot\sqrt{x}=|8x^6|\cdot \sqrt{x}=8x^6\cdot \sqrt x\).

Damit lässt sich der dritte Summand vereinfachen zu:

\(\begin{align*} \color{green}{-\sqrt{64x^{13}}:x^2}&=-8x^6\cdot\sqrt{x}:x^2\\ &=-\frac{8x^6}{x^2}\cdot\sqrt{x}&&|\text{ kürzen}\\ &\color{green}{=-8x^4\cdot\sqrt{x}}. \end{align*}\)

Schritt 2: Vereinfachte Terme zusammenfassen

Die drei vereinfachten Summanden, die oben grün markiert sind, setzt du jetzt in den ursprünglichen Term ein und fasst zusammen:

\(\begin{align*} x^2\sqrt{49x^5}+\sqrt{25x^9}-\sqrt{64x^3}:x^2&=7x^4\cdot\sqrt{x}+5x^4\cdot\sqrt{x}-8x^4\cdot\sqrt{x}\\ &=(7x^4+5x^4-8x^4)\sqrt{x}\\ &=4x^4\sqrt{x} \end{align*}\)

Dies ist die einfachste Form des Terms in der Wurzelschreibweise.

Lösung

\(x^2\sqrt{49x^5}+\sqrt{25x^9}-\sqrt{64x^{13}}:x^2 = \bf4x^4\sqrt{x}\)

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