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Wie du Wurzeln als Potenzen schreibst


Aufgabe

Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich.

\(\sqrt[6]{y^3}\cdot\sqrt{y}\)

Schritt 1: Wurzeln als Potenzen schreiben

Die Variable y taucht mehrmals auf. Um den Term zu vereinfachen, müssen die beiden Wurzelausdrücke zusammengefasst werden. Dazu schreibst du alle Wurzeln als Potenzen gemäß der Regel  \(\sqrt[b]{a}=a^{\frac{1}{b}}.\)

Die erste Wurzel in unserem Term ist also 

\(\sqrt[6]{y^3}=(y^3)^{\frac{1}{6}}.\)

Die zweite Wurzel ist

\(\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}.\)

Schritt 2: Potenzgesetze anwenden

Der Term \((y^3)^{\frac{1}{6}}\) ist eine verschachtelte Potenz, die du mithilfe des Potenzgesetzes \((a^b)^c=a^{b\cdot c}\)  vereinfachen kannst:

\((y^3)^{\frac{1}{6}}=y^{3\cdot\frac{1}{6}}=y^{\frac{3}{6}}=y^{\frac{1}{2}}\)

Schritt 3: Einsetzen und nochmals vereinfachen

Setzt du die gerade berechneten Potenzen anstelle der Wurzelausdrücke ein, so wird aus dem vorgegebenen Term:

\(\sqrt[6]{y^3}\cdot\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}\cdot y^{\frac{1}{2}}\)

Jetzt kannst du das Potenzgesetz \(x^a\cdot x^b=x^{(a+b)}\) anwenden. In unserem Fall liefert das

\(y^{\frac{1}{2}}\cdot y^{\frac{1}{2}}=y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=y^1=y.\)

Die Lösung lautet also

\(\sqrt[6]{y^3}\cdot\sqrt{y}=y.\)

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