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Wie du Wurzelgesetze anwendest


Aufgabe

Vereinfache ohne Taschenrechner. Gib deine Zwischenschritte an. 

  1. \(9\cdot\left(\sqrt{\frac{32}{8}}:\sqrt{\frac{72}{10}}\right)\)
  2. \(\sqrt{63}+2\sqrt{28}-3\sqrt{80}\)
  3. \(\sqrt{\sqrt{48}}\)

Hinweis

Die Anweisung "vereinfache" bedeutet:

  • alle Brüche so weit wie möglich kürzen
  • Wurzeln so weit wie möglich auflösen, also z. B. \( \sqrt{18}\) zu \(3\sqrt{2}\)  umformen, sodass möglichst kleine Zahlen unter der Wurzel stehen. Das geht durch sogenanntes "teilweises Radizieren
  • gleichnamige Terme zusammenfassen, z. B. \(3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)
  • bei Brüchen mit Wurzeln: den Nenner rational machen (also den Term durch Kürzen und Erweitern so umformen, dass keine Wurzel mehr im Nenner steht)

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

Schritt 1: Kürzen

Wenn du einen Term vereinfachen sollst, dann fange mit den einfachsten Dingen an: Bevor du dich um die Wurzeln kümmerst, solltest du zunächst die Brüche kürzen:

\(9\cdot\left(\sqrt{\frac{32}{8}}:\sqrt{\frac{72}{10}}\right)=9\cdot\left(\sqrt{4}:\sqrt{\frac{36}{5}}\right)\)

Schritt 2: Rechenregeln für Wurzeln anwenden

Jetzt fällt auf, dass zwei Quadratzahlen unter den Wurzeln stehen, nämlich 4 und 36. Die erste kannst du direkt ausnutzen, indem du \(\sqrt{4}\) einfach durch 2 ersetzt:

\(9\cdot\left(\sqrt{4}:\sqrt{\frac{36}{5}}\right)=9\cdot\left(2:\sqrt{\frac{36}{5}}\right)\)

Bei \( \sqrt{\frac{36}{5}}\) kannst du die 36 aus der Wurzel rausholen. Dazu musst du wissen, dass nach der Regel für die Division von Wurzeln für alle positiven Zahlen a und b gilt: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\). Diese Regel besagt, dass es egal ist, ob man zuerst zwei Zahlen dividiert und dann die Wurzel zieht, oder ob man zuerst von beiden Zahlen die Wurzel zieht und dann dividiert.

In unserem Fall wenden wir die Formel von rechts nach links an und erhalten:

\(\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\).

Somit vereinfacht sich der Term \(9\cdot\left(2:\sqrt{\frac{36}{5}}\right)\) zu \(9\cdot\left(2:\frac{6}{\sqrt 5}\right)\).

Schritt 3: Terme zusammenfassen

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert, d. h.

\(2:\frac{6}{\sqrt 5}=2\cdot\frac{\sqrt 5}{6}=\frac{\sqrt 5}{3}\).

Unser Term sieht also jetzt so aus:

\(9\cdot\frac{\sqrt 5}{3}=3\sqrt{5}\).

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

Schritt 1: Teilweise radizieren

Im Term \(\sqrt{63}+2\sqrt{28}-3\sqrt{80}\) kommen keine Brüche oder Quotienten vor, aber dafür große Zahlen unter den Wurzeln. Um auf möglichst kleine Zahlen unter den Wurzeln zu kommen, musst du teilweise radizieren. Das bedeutet: du zerlegst die Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus einem Quadrat und einer anderen Zahl, spaltest dann die Wurzel in zwei Teilwurzeln und löst dann eine der beiden Wurzeln (die mit der Quadratzahl) auf.

Diesen Prozess können wir bei dieser Teilaufgabe gleich dreimal durchführen, nämlich einmal für jede der drei auftretenden Wurzeln.

Erste Wurzel

Fangen wir mit \( \sqrt{63}\) an. Es ist  \(63=9\cdot 7\), wobei 9 eine Quadratzahl ist \((9=3^2)\). Wir haben also

\(\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}\).

Jetzt benutzt du die Regel für das Multiplizieren von Wurzeln. Sie lautet

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\).

Von rechts nach links gelesen liefert uns diese Formel eine Anleitung, wie wir \(\sqrt{9\cdot 7}\) in zwei Teilwurzeln zerlegen können: Es ist

 \(\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{7}\).

Weil 9 eine Quadratzahl ist, können wir eine der beiden Wurzeln auf der rechten Seite auflösen:

\(\sqrt{9}\cdot\sqrt{7}=3\sqrt{7}\).

Jetzt haben wir also anstatt der großen Zahl 63 nur noch 7 unter der Wurzel:

\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\).

Zweite Wurzel

Jetzt wendest du das gleiche Verfahren für \(\sqrt{28}\) an: Es ist \(28=4\cdot7\), wobei 4 eine Quadratzahl ist \((4=2^2)\). Wir haben also

\(\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}\).

Wieder benutzt du die Regel für das Multiplizieren von Wurzeln:

\(\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}\).

Weil 4 eine Quadratzahl ist, können wir eine der beiden Wurzeln auf der rechten Seite auflösen:

\(\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}=2\sqrt{7}\).

Jetzt haben wir also anstatt der großen Zahl 28 nur noch 7 unter der Wurzel:

\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).

Dritte Wurzel

Schließlich noch \( \sqrt{80}\)

Es ist \(80=16\cdot5\), wobei 16 eine Quadratzahl ist (\(16=4^2\)). Wir haben also

\(\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}\).

Erneut wendest du die Regel für das Multiplizieren von Wurzeln an:

\(\sqrt{16\cdot 5}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{5}\).

Weil 16 eine Quadratzahl ist, können wir eine der beiden Wurzeln auf der rechten Seite auflösen:

\(\sqrt{16}\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5}\).

Jetzt haben wir also anstatt der großen Zahl 80 nur noch 5 unter der Wurzel:

\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\).

Schritt 2: Terme zusammenfassen

Setzt du in den vorgegebenen Term

\(\sqrt{63}+2\sqrt{28}-3\sqrt{80}\)

die vereinfachten Wurzeln

\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7} \)  und \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)  ein, so bekommst du

\(3\sqrt{7}+2\cdot2\sqrt{7}-3\cdot4\sqrt{5}\).

Die beiden Terme mit \(\sqrt{7}\) kannst du jetzt noch zusammenfassen:

\(\begin{align*} 3\sqrt{7}+2\cdot2\sqrt{7}-3\cdot4\sqrt{5}&=3\sqrt{7}+4\sqrt{7}-12\sqrt{5}\\ &=7\sqrt{7}-12\sqrt{5} \end{align*}\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe c)

Schritt 1: Regel zu verschachtelten Wurzeln anwenden

Allgemein lautet die Regel zu verschachtelten Wurzeln:

\( \sqrt[k]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[k \cdot n]{a}\)

In unserem Fall haben wir jeweils die Quadratwurzel. Die verschachtelte Wurzel lässt sich also umschreiben zu:

\( \sqrt{\sqrt{48}}= \sqrt[2]{\sqrt[2]{48}}=\sqrt[2\cdot 2]{48}=\sqrt[4]{48}\)

Schritt 2: Teilweise radizieren

Jetzt kannst du den Wurzelterm durch „teilweises Radizieren“ noch weiter vereinfachen. Überlege dir dazu, in was für ein Produkt du die 48 umwandeln kannst, sodass eine der beiden Zahlen durch die 4. Potenz gebildet werden kann.

\(\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16 \cdot 3}=\sqrt[4]{2^4 \cdot 3}=\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3}=2 \cdot \sqrt[4]{3}\)

Lösung

  1.  \(9\cdot\left(\sqrt{\frac{32}{8}}:\sqrt{\frac{72}{10}}\right)=\bf3\sqrt{5}\)
  2.  \(\sqrt{63}+2\sqrt{28}-3\sqrt{80}=7\sqrt{7}-12\sqrt{5}\)
  3. \(\sqrt{\sqrt{48}}=2 \cdot \sqrt[4]{3}\)

 

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