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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Wendepunkte bestimmst

Aufgabe

In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließen zwei Bäche. Nach Regenfällen unterschiedlicher Dauer und Stärke können die momentanen Zuflussraten aus den beiden Bächen durch Funktionen \(f_a\) für den Bach 1 und \(g_a\) für den Bach 2 und die Gesamtzuflussrate aus den beiden Bächen durch eine Funktion \(h_a\) für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert werden. Gegeben sind für \(a>0\) zunächst die Funktionsgleichungen:

\(\begin{align*}
&f_a(t)=\frac{1}{4}t^3-3a\cdot t^2+9a^2\cdot t+340,\,t\in\mathbb{R}\\
&h_a(t)=\frac{1}{2}t^3-7a\cdot t^2+24a^2\cdot t+740,\,t\in\mathbb{R}
\end{align*} \)

Dabei fasst man \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 h und \(f_a(t)\), \(g_a(t)\) sowie \(h_a(t)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) auf. Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt \(t=0\) und endet zum Zeitpunkt \(t=6a\). Die Graphen von \(f_4\), \(g_4\) und \(h_4\) sind in der Abbildung dargestellt.

 

Bestimme die Wendestelle der Funktion \(h_a\).

Wie du Wendepunkte bestimmst - Abbildung 1

 

Schritt 1: Zweite Ableitung bilden

Gefragt ist nach der Wendestelle der Funktion \(h_a\). Diese ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung von \(h_a\), die du zuerst bestimmen musst.

Die Funktion \(h_a(t)=\frac{1}{2}t^3-7a\cdot t^2+24a^2\cdot t+740\) ist ganzrational, sodass du jeden einzelnen Summanden mit der Ableitungsregel für Potenzen differenzieren kannst.

Die Regel lautet \(f(t)=t^n\Longrightarrow f'(t)=n\cdot t^{n-1}\). Aus dem ersten Summanden \(\frac{1}{2}t^3\) wird somit \(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^{3-1}=\frac{3}{2}t^2\) (der Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) bleibt unverändert). Analog leitest du die anderen Summanden ab und bekommst:

\(\begin{align*}h_a'(t)=\frac{3}{2}t^2-14a\cdot t +24a^2\end{align*}\)

Diesen Ausdruck musst du noch mal ableiten, um die 2. Ableitung von \(h_a\) zu bekommen:

\(\begin{align*}h_a''(t)=\frac{3}{2}\cdot 2t-14a=3t-14a\end{align*}\)

Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen

Die einzigen Kandidaten für Wendestellen von \( h_a \) sind die Nullstellen von \(h_a''\), die du als Nächstes bestimmst:

\(\begin{align*} & h_a''(t)=0\\ \Longleftrightarrow &3t-14a=0\\ \Longleftrightarrow &3t=14a\\ \Longleftrightarrow &t=\frac{14a}{3} \end{align*}\)

Es gibt also nur eine Nullstelle von \(h_a''\), nämlich bei \( t=\frac{14a}{3}\).

Schritt 3: Krümmungsverhalten untersuchen

Eine Wendestelle ist ein \(x\)-Wert, bei dem der Funktionsgraph von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt. Linkskrümmung liegt bei positiver 2. Ableitung vor, Rechtskrümmung bei negativer 2. Ableitung. Du musst also noch prüfen, ob die 2. Ableitung bei der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel hat oder nicht. Es gibt zwei Möglichkeiten, das zu prüfen: einmal über eine Vorzeichentabelle von \(h_a''\) und einmal über die dritte Ableitung von \(h_a\).

1. Möglichkeit

Das Vorzeichen von \( h_a''\) kannst du mit dem zugehörigen Krümmungsverhalten von \(h_a\) in einer Tabelle notieren: Eine Spalte enthält die Informationen über den Bereich links von der Nullstelle (also für \(t<\frac{14a}{3}\)), die andere deckt den Bereich rechts davon ab (also für \(t>\frac{14a}{3}\)).

Für \(t<\frac{14a}{3}\) ist \(h''(t)=3t-14a<0\), also \(G_{h_a}\) rechtsgekrümmt.

Für \(t>\frac{14a}{3}\) ist \(h''(t)=3t-14a>0\), also \(G_{h_a}\) linksgekrümmt.

Die Tabelle sieht also wie folgt aus:

Wie du Wendepunkte bestimmst - Abbildung 2

Bei \( t=\frac{14a}{3}\) ändert sich das Krümmungsverhalten, also handelt es sich um eine Wendestelle.

2. Möglichkeit

Die dritte Ableitung \(h_a'''(t)=3\) ist nie null, unabhängig von \(a\) und \(t\). Somit ist jede Nullstelle von \(h_a''\) eine Wendestelle von \(h_a\).

Bemerkung

Oft ist nicht nur die Wendestelle, sondern der Wendepunkt gefragt. In dem Fall musst du die Wendestelle \( t=\frac{14a}{3}\) in den Funktionsterm von \(h_a\) einsetzen, um den zugehörigen Funktionswert \(h_a\left(t=\frac{14a}{3}\right)=\frac{280a^3}{27}+740\) zu erhalten. Der Wendepunkt ist dann \(W\left(\frac{14a}{3}\left|\frac{280a^3}{27}+740\right.\right)\), also Wendestelle als erste Koordinate und Funktionswert als 2. Koordinate.

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