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Wie du Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmst


Aufgabe

Jakob würfelt dreimal. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit für

a)  A: „Jakob würfelt mindestens einmal 6.“

b)   B: „Jakob würfelt weniger als dreimal 6.“

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a)  A: „Jakob würfelt mindestens einmal 6.“

Schritt 1: Gegenereignis berechnen

„Mindestens eine 6“ bedeutet: „Eine, zwei oder drei sechsen“ – das auszurechnen wäre viel Arbeit. Hier kannst du auch über das Gegenereignis gehen.

„Mindestens eine 6“ bedeutet nämlich auch: „Alles außer keine 6.“ Das Gegenereignis zu A ist also:

\(\overline{A}\): „Jakob würfelt keine 6.“

Die Wahrscheinlichkeit berechnest du mit der Pfadmultiplikationsregel, da Jakob hier dreimal hintereinander keine 6 würfelt.

\(P(keine\ 6) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}\)

Schritt 2: Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden

Hier ergibt sich nach der Formel für das Gegenereignis:

\(P(Ereignis) = 1 - P(Gegenereignis)\)

Also:

\(P(mindestens \ eine\ 6) = 1 - P(keine\ 6) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 0,4212 = 42,1\ \%\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b)   B: „Jakob würfelt weniger als dreimal 6.“

Schritt 1: Gegenereignis berechnen

Wenn jakob weniger als dreimal 6 würfelt, würfelt er keinmal, einmal oder zweimal 6. Hier ist es wieder einfacher, über das Gegenereignis zu gehen, weil du dann statt drei Wahrscheinlichkeiten nur eine berechnen musst. Das Gegenereignis lautet:

\(\overline B\): „Jakob würfelt dreimal 6.“

Und die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist:

\(P(dreimal \ 6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216}\)

Schritt 2: Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden

Hier ergibt sich nach der Formel für das Gegenereignis:

\(P(Ereignis) = 1 - P(Gegenereignis)\)

Also:

\(P(weniger \ als \ dreimal \ 6) = 1 - P(dreimal \ 6) = 1 - \frac{1}{216} = \frac{215}{216} = 0,9953 = 99,5\ \%\)

Lösung

a) \(P(mindestens \ eine \ 6) = 42,1\ \%\)

b) \(P(weniger \ als \ dreimal \ 6) =99,5\ \%\)

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