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Wie du Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst


Aufgabe

In einer Tüte befinden sich 2 rote und 4 gelbe Gummibärchen. Tarek nimmt hintereinander 2 davon heraus.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht er erst ein gelbes und dann ein rotes Gummibärchen?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er genau ein rotes Gummibärchen?

Hinweis

Tarek zieht zweimal nacheinander. Bei solchen sogenannten mehrstufigen Zufallsexperimenten ist es sinnvoll, ein Baumdiagramm zu erstellen.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

Schritt 1: Baumdigramm erstellen

Zunächst der 1. Zug. Es gibt gelbe und rote Gummibärchen, also zeichnest du einen Pfad für „rot“ und einen für gelb. Beim 2. Zug genauso.

Wie du Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst - Abbildung 1

Danach schreibst du über jeden einzelnen Pfad die dazugehörige Wahrscheinlichkeit.

1. Zug

Hier ergibt sich:

\(P(rot)= \frac{2}{6}\) (2 von insgesamt 6 Gummibärchen sind rot)
\(P(gelb)= \frac{4}{6}\) (4 von insgesamt 6 Gummibärchen sind gelb)

2. Zug

Die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug berechnest du analog. Vorsicht: Es sind nur noch 5 Gummibärchen übrig! Für die beiden oberen Äste ergibt sich:

\(P_{rot}(rot)= \frac{1}{5}\)
\(P_{rot}(gelb)= \frac{4}{5}\)

Für die beiden unteren Äste ergibt sich:

\(P_{gelb}(rot)= \frac{2}{5}\)
\(P_{gelb}(gelb)= \frac{3}{5}\)

Wie du Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst - Abbildung 2

Schritt 2: 1. Pfadregel anwenden

Als Nächstes musst du überlegen, welche Pfade im Baumdiagramm zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen. Tarek zieht erst ein rotes und dann ein gelbes Gummibärchen, nimmt also erst den oberen und dann den unteren Pfad.

Wie du Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst - Abbildung 3

Die beiden Wahrscheinlichkeiten auf diesen Pfaden musst du nach der 1. Pfadregel miteinander multiplizieren.

\(P(erst \ rot, \ dann \ gelb) =P(rot) \cdot P_{rot}(gelb) = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{30} = \frac{4}{15}\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er genau ein rotes Gummibärchen?

Schritt 1: Baumdiagramm erstellen

Das Baumdiagramm hast du bereits erstellt.

 

Schritt 2: 1. Pfadregel anwenden

Tarek kann auf zwei verschiedenen Wegen zum Ereignis „genau ein rotes Gummibärchen“ gelangen. Er kann erst ein rotes und dann ein gelbes ziehen – oder umgekehrt.

Wie du Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bestimmst - Abbildung 4

Berechne beide Wahrscheinlichkeiten separat, indem du jeweils die 1. Pfadregel verwendest.

\(P(erst \ rot, \ dann \ gelb) =P(rot) \cdot P_{rot}(gelb) = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{30} = \frac{4}{15}\)

\(P(erst \ gelb, \ dann \ rot) =P(gelb) \cdot P_{gelb}(rot) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}=\frac{8}{30} = \frac{4}{15}\)

Schritt 3: 2. Pfadregel anwenden

Tarek gelangt auf dem oberen oder dem unteren Weg zu genau einem Gummibärchen. Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten musst du addieren. 2. Pfadregel

\(P(genau \ ein \ rotes) =P(erst \ rot, dann \ gelb) + P(erst \ gelb, \ dann \ rot) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15}=\frac{8}{15} \)

Tipp: Das Wörtchen „oder“ bedeutet meistens „plus“.

Lösung

a)   \(P(erst \ rot, \ dann \ gelb)= \frac{4}{15}\)

b)  \(P(genau \ ein \ rotes) =\frac{8}{15} \)

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