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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse bei einer Binomialverteilung berechnest

Aufgabe

An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele.
Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zweimal?

Schritt 1: Bernoulli-Formel anwenden

Wir gehen davon aus, dass der Ausgang eines Spiels nicht davon abhängt, ob man bei den vorherigen Spielen gewonnen oder verloren hat (sogenannte Unabhängigkeitsannahme). Somit ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren immer gleich, nämlich \(p=\frac{2}{3}\).

Somit handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=4\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{2}{3}\) (im Modell wird das Verlieren eines Spiels als Treffer angesehen).

Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gefragt ist, betrifft die Anzahl der Treffer. Sei also \(X\) eine Zufallsvariable, die zählt, wie oft man bei vier Spielen verliert. Laut Bernoulli-Formel gilt:

\(\begin{align*} P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{align*}\)

In unserem Fall ist die Anzahl der Spiele \(n=4\), die Anzahl der „Treffer“ (s. o.) des interessierenden Ereignisses \(k=2\) und die Wahrscheinlichkeit zu verlieren \(P=\frac{2}{3}\). Einsetzen liefert:

\(\begin{align*} P(X=2)&=\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\\ &=6\cdot\frac{4}{81}\\ &=\frac{8}{27} \end{align*}\)

Lösung

Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{8}{27}\) verliert man also genau 2 von 4 Spielen.

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