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Wie du Wachstumsvorgänge grafisch darstellst


Aufgabe

Marlene will für ihre Altersvorsorge 10.000 € fest anlegen. Die "Sparbank“ bietet ihr einen Zinssatz von 4 %. Die Bank "Easy Saver“ macht ihr ein besonderes Angebot: Sie bekommt sofort einen Bonus von 25 % auf ihr Guthaben, der Zinssatz ist 3 %.

a) Stelle die Funktionsgleichungen für beide Angebote auf. Die Variable x soll die Zeit in Jahren angeben, die Variable y ihren Kontostand.

b) Zeichne beide Graphen für die nächsten 50 Jahre in ein Koordinatensystem. Berechne die Werte für alle 10 Jahre.

c) Für welche Laufzeit des Sparvertrags empfiehlst du ihr welches Angebot? Bestimme die notwendigen Werte aus der Zeichnung.

 

Aufgabenteil a. und b.

Schritt 1: Funktionsgleichungen aufstellen

Funktionsgleichung für das 1. Angebot aufstellen

Jedes Jahr erhöht sich der Geldbetrag um einen festen Prozentsatz (4 %), also wird das Guthaben nach x Jahren durch eine Exponentialfunktion

\(f(x)=c\cdot a^x\)

beschrieben, wobei \(c=10.000\) das Startkapitalkapital in Euro und a der Wachstumsfaktor ist. Das ist die Zahl, mit der man den Anfangsbetrag multiplizieren muss, um den Betrag nach einem Jahr zu erhalten. Bei der "Sparbank" bekommt Marlene 4 % Zinsen, d. h. nach einem Jahr liegt ihr Kontostand bei

\(\begin{align*} 10.000\,€+4\,\%\cdot10.000\,€&=10.000\,€\cdot(1+4\,\%)\\ &=10.000\,€\cdot(1+0{,}04)\\ &=10.000\,€\cdot1{,}04. \end{align*} \)

Der Wachstumsfaktor ist also die Zahl 1,04.

Die zugehörige Exponentialfunktion lautet also

\(\bf f(x)=10.000\cdot(1{,}04)^x\).

Funktionsgleichung für das 2. Angebot aufstellen

Bei der Bank "Easy Saver" wird das Startkapital sofort von 10.000 € um 25 % auf 12.500 € erhöht. Danach nimmt das Guthaben exponentiell zu, allerdings nur noch mit 3 % Zinsen, also mit dem Wachstumsfaktor

\(1+3\,\%=1+0,03=1,03\).

Die zugehörige Exponentialfunktion nennen wir g, um sie von der obigen unterscheiden zu können. Sie lautet

\(\bf g(x)=12.500\cdot(1{,}03)^x\).

Schritt 2: Wertetabelle anlegen

Mit dem Taschenrechner kannst du für die beiden Sparangebote jeweils das Guthaben nach 10, 20, 30 und 50 Jahren berechnen und in einer Tabelle notieren:

Jahre

 0 10 20 30 40 50
Sparbank 10.000 14.802,44 21.911,23 32.433,96 48.010,21 71.066,83
Easy Saver 12.500 16.798,95 22.576,39 30.340,7 40.775,47 54.798,83

Die Werte sind auf einen Cent genau gerundet.

Schritt 3: Graphen zeichnen

Zunächst legst du ein Koordinatensystem an, dessen x-Achse mindestens den Bereich von 0 bis 50 abdeckt und dessen y-Achse mindestens die Werte von 0 bis 72.000 umfasst. Dann trägst du in einer Farbe die Werte der Funktion \(f\) für die "Sparbank" aus der Tabelle ein: 

Wie du Wachstumsvorgänge grafisch darstellst - Abbildung 1

Diese Punkte verbindest du wie folgt zu einer Kurve:

Wie du Wachstumsvorgänge grafisch darstellst - Abbildung 2

Mit einer anderen Farbe trägst du die Werte von g aus der Tabelle ein: 

Wie du Wachstumsvorgänge grafisch darstellst - Abbildung 3

Auch diese Punkte verbindest du zu einer Kurve:

Wie du Wachstumsvorgänge grafisch darstellst - Abbildung 4

Aufgabenteil c)

Schritt 1: Angebote bezüglich ihrer Laufzeit vergleichen

Anhand der Skizze kannst du erkennen, dass zunächst der blaue Graph oberhalb von dem roten Graphen verläuft, aber bei etwa \(x=23\) kreuzen sich die beiden Graphen. Danach liegt der rote Graph oberhalb des blauen Graphen. 

Lösung

Das bedeutet, dass das Guthaben bei "Easy Saver" besser angelegt ist, wenn Marlene weniger als 23 Jahre lang sparen will, ansonsten ist das Angebot der "Sparbank" für sie vorteilhafter.

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