Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du Wachstumsvorgänge berechnest


Aufgabe

Unter idealen Bedingungen wächst die Braunalge wöchentlich um 40 %. Zu Beginn der Beobachtung war sie 0,75 cm groß. Das Wasser ist an dieser Stelle 30 cm tief.

In wie vielen Wochen …

  1. hat die Braunalge ihre Länge verdoppelt?
  2. ist die Braunalge an die Oberfläche gelangt?

 

Schritt 1: Wachstumsfunktion bestimmen

Die Länge der Alge nimmt (unter Idealbedingungen) jede Woche um den gleichen Prozentsatz zu. Darum handelt es sich um exponentielles Wachstum. Ein solches Wachstum wird durch eine Funktion der Form

\(f(x)=c\cdot a^x\)

beschrieben, wobei du den Wachstumsfaktor a und den Startwert c für diesen Fall bestimmen musst. Der Startwert beschreibt die Länge der Alge zu Beginn der Beobachtungszeit (in cm): \(c=0{,}75\).

Der Wachstumsfaktor ist die Zahl, mit der du den Anfangswert multiplizieren musst, um den Wert nach einer Woche zu bekommen. Laut Aufgabenstellung wächst die Alge wöchentlich um 40 %, d. h. die Länge (in cm) nach einer Woche ist

\(0{,}75+40\,\%\cdot0{,}75=0{,}75\cdot(1+40\,\%)=0{,}75\cdot(1+0{,}4)=0{,}75\cdot(1{,}4)\).

Man muss also die Anfangslänge mit 1,4 multiplizieren, um die Länge nach einer Woche zu erhalten. Der Wachstumsfaktor ist somit \( a=1{,}4\).

Damit lautet die Wachstumsfunktion

\(f(x)=\color{green}{0{,}75\cdot(1{,}4)^x}\).

Setzt man hier für x die Anzahl der Wochen seit Beobachtungsbeginn ein, so gibt \(f(x)\) die Länge der Alge nach x Wochen in cm an.

Schritt 2: Zeit berechnen

Gefragt ist jetzt, wie lange es dauert, bis die Alge ihre Länge verdoppelt, d. h. wann sie die Länge

\(2\cdot0{,}75\,\text{cm}=1{,}5\,\text{cm}\) hat.

Dazu musst du den grünen Funktionsterm gleich 1,5 setzen:

\(\begin{align*} &0{,}75\cdot(1{,}4)^x=1{,}5&&|:0{,}75\\ &(1{,}4)^x=2&&|\text{ logarithmieren}\\ &\log\left((1{,}4)^x\right)=\log2&&|\text{ Logarithmusgesetz anwenden}\\ &x\cdot\log(1{,}4)=\log2&&|:\log(1{,}4)\\ &x=\frac{\log2}{\log(1{,}4)} \end{align*} \)Logarithmen - Logarithmisches Rechnen

Mit dem Taschenrechner bekommst du den Näherungswert

\(\frac{\log2}{\log(1{,}4)}\approx2{,}06\).

 

Lösung

Wenn die Alge unter Idealbedingungen wächst, verdoppelt sie innerhalb von gut zwei Wochen ihre Länge.

Schritt 1: Gleichung aufstellen und berechnen

Gefragt ist nun, wie lange es dauert, bis die Alge die Wasseroberfläche erreicht. Dazu nehmen wir an, dass sie vom Grund des Wassers senkrecht nach oben wächst und ihre Länge gemäß der Formel aus Teilaufgabe a) berechnet werden kann.

Damit läuft es darauf hinaus zu berechnen, nach welcher Zeit die Alge 30 cm Länge erreicht hat. Dazu setzt du den grünen Funktionsterm aus Teilaufgabe a) gleich 30:

\(\begin{align*} &0{,}75\cdot(1{,}4)^x=30&&|:0{,}75\\ &(1{,}4)^x=40&&|\text{ logarithmieren}\\ &\log\left((1{,}4)^x\right)=\log(40)&&|\text{ Logarithmusgesetz anwenden}\\ &x\cdot\log(1{,}4)=\log(40)&&|:\log(1{,}4)\\ &x=\frac{\log(40)}{\log(1{,}4)} \end{align*} \)

Mit dem Taschenrechner bekommst du den Näherungswert

\(\frac{\log(40)}{\log(1{,}4)}\approx10{,}96\).

 

Lösung

Wenn die Alge unter Idealbedingungen vom Grund des Wassers senkrecht nach oben wächst, erreicht sie in knapp 11 Wochen die Oberfläche.

 

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier