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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du waagerechte, senkrechte oder schräge Asymptoten findest

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \( f(x)=\frac{20x}{x^2-25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f \) von \(f\).

Wie du waagerechte, senkrechte oder schräge Asymptoten findest - Abbildung 1

Gib die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

Schritt 1: Senkrechte Asymptoten bestimmen

Die am einfachsten zu bestimmenden Asymptoten sind die senkrechten. Sie tauchen nur auf, wenn die Funktion Definitionslücken hat. In diesem Fall ist der Funktionsterm ein Bruch, also ist die Funktion überall definiert, wo der Nenner ungleich null ist. Die einzigen Definitionslücken sind daher die Nullstellen des Nenners (also \(x^2-25\)):

\(x^2-25=0\Longleftrightarrow |x|=\sqrt{25}=5\Longleftrightarrow x\in\{-5;5\}\)

An den Stellen \(x=-5\) und \(x=5\) könnten also senkrechte Asymptoten vorliegen. Um zu prüfen, ob das der Fall ist, musst du diese Stellen in den Zähler (also \(20x\)) einsetzen:

\(20\cdot (-5)=-100\) und \(20\cdot 5=100\)

Der Zähler wird also an diesen Stellen nicht null, der Nenner schon. Deswegen gilt

\(\begin{align*} \lim_{x\longrightarrow\pm 5}|f(x)|=\infty \end{align*}\),

das heißt, die Definitionslücken an den Nullstellen des Nenners sind nicht hebbar (es sind sogenannte Polstellen der Funktion \(f\)). Deswegen hat \(f\) zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x=-5\) und \(x=5\).

Schritt 2: Verhalten im Unendlichen untersuchen

Es kann höchstens zwei weitere Asymptoten geben, die sich aus dem Grenzverhalten von f für \(x\longrightarrow\infty\) und \(x\longrightarrow -\infty\) ergeben.

In diesem Fall ist \(f\) eine rationale Funktion (ein Bruch, bei dem im Zähler und im Nenner nur ganzzahlige Potenzen von \(x\) vorkommen) und für solche Funktionen ist das Grenzverhalten durch die Grade von Zähler und Nenner bestimmt (der Grad ist der höchste vorkommende Exponent).

Es können drei Fälle auftreten:

  1. Der Grad des Zählers ist größer als der Grad des Nenners.
  2. Die Grade von Zähler und Nenner sind gleich.
  3. Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners.

Im ersten Fall gibt es eine schräge Asymptote, falls der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der Grad des Nenners. Falls der Grad des Zähler um mehr als eins größer ist, so gibt es weder schräge noch waagerechte Asymptoten. Ist der Zähler z. B. \(ax^2+bx+1\) und der Nenner \(cx-d\), so ist die schräge Asymptote gegeben durch \(y=\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}-\frac{ad}{c^2}\).

Im zweiten Fall gibt es eine waagerechte Asymptote. Ist der höchste Exponent in Zähler und Nenner z. B. 3, so hat die Funktion die Form

\(x\longmapsto\frac{ax^3+\dots}{bx^3+\dots}\)

und die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y=\frac{a}{b}\).

Im dritten Fall hat \(f\) eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung \(y=0\).

In unserem Fall ist der Zähler \(20x=20x^1\), also vom Grad 1; der Nenner ist \(x^2-25\), also vom Grad 2. Der Grad des Zählers ist also kleiner als der Grad des Nenners. Hier handelt es sich somit um den dritten Fall, das heißt, \(f\) hat die waagerechte Asymptote \(y=0\).

Bemerkung

Ist die vorgegebene Funktion keine rationale Funktion, so musst du die Grenzwerte \(\lim\limits_{x\longrightarrow\infty} f(x)\) und \(\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty} f(x)\) ausrechnen. Wenn endliche Zahlen rauskommen, dann sind das die Höhen der waagerechten Asymptoten.

Schritt 3: Ergebnisse zusammentragen

Insgesamt hat \(f\) drei Asymptoten: zwei senkrechte und eine waagerechte. Die Gleichungen lauten:

\(x=-5\)

\(x=5\)

\(y=0\)

Bemerkung

Die Herleitung der drei Asymptotengleichungen ist in der Aufgabenstellung nicht gefragt, denn es steht nur „gib an“. In dieser Anleitung wird gezeigt, wie du auf die Lösung kommst, aber in der Abiturprüfung reicht es, das Ergebnis hinzuschreiben.

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