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Wie du untersuchst, ob Punkte auf einer Geraden liegen


Aufgabe

Überprüfe, ob der Punkt P(−8|0|−1) auf der Geraden mit der Gleichung

\(\overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c}-6\\3\\ -2\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}2\\3\\ -1\end{array}\right)\)

liegt.

Schritt 1: Setze den Punkt in die Geradengleichung ein

Zuerst setzt du den Ortsvektor des gegebenen Punktes für \(\overrightarrow{X} \) in die Geradengleichung ein. Dazu musst du die Koordinaten des Punktes als Vektor schreiben.

\(\left(\begin{array}{c}-8\\0\\ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-6\\3\\ -2\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}2\\3\\ -1\end{array}\right)\)

Schritt 2: Berechne t für eine Zeile und setze es in die anderen Zeilen ein

Als Nächstes betrachtest du die entstandene Gleichung zeilenweise. Fange zum Beispiel mit der 1. Zeile an.

\(\left(\begin{array}{c}\color {red}{-8}\\0\\ -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\color {red}{-6}\\3\\ -2\end{array}\right) +\color {red} t \cdot \left(\begin{array}{c}\color {red}2\\3\\ -1\end{array}\right)\)

\(\color {red}{-8 = -6 + t \cdot 2}\)

Löse diese Gleichung jetzt nach t auf. Du erhältst:

\(-2 = 2t\)

\(t = -1\)

Diese Zahl setzt du jetzt für t in die 2. und 3. Zeile ein und überprüfst, ob diese Gleichung dann stimmt.

2. Zeile:

\(0 = 3 + (-1) \cdot 3\)

\(0 = 0\)

⇒ Für die 2. Zeile passt das t.

3. Zeile:

\(-1 = -2 + (-1) \cdot (-1)\)

\(-1 = -1\)

⇒ Für die 3. Zeile passt das t auch.

\(t = -1\) passt also für alle drei Zeilen der Gleichung. Das bedeutet, dass der Punkt P auf der gegebenen Geraden liegt.

Lösung

Der Punkt P liegt auf der gegebenen Geraden.

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