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Wie du untersuchst, ob eine Funktion ganzrational ist


Aufgabe

Untersuche, ob folgende Funktionen ganzrationale Funktionen sind.

  1. \(f(x)=4x^4-2,5x^3-3x^2\)
  2. \(g(x)= 3,7x^2-17x^{-1}+9\)
  3. \(h(x)=0,5x+2\)

Das musst du wissen

Eine ganzrationale Funktion nennt man auch eine Polynomfunktion. Du kannst sie daran erkennen, dass sie aus einer Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten besteht.

Lösungsschritt für Teilaufgabe a.

  1. \(f(x)=4x^4-2,5x^3-3x^2\)

Schritt 1: Betrachte die Exponenten

Die Exponenten der Funktion \(f(x)=4x^4-2,5x^3-3x^2\) sind 4 von \(4x^4\), 3 von \(-2,5x^3\) und 2 von \(-3x^2\). Alle Exponenten sind also natürliche Zahlen. Es handelt sich somit um eine ganzrationale Funktion.

Lösungsschritt für Teilaufgabe b.

     b.  \(g(x)= 3,7x^2-17x^{-1}+9\)

Schritt 1: Betrachte die Exponenten

Die Exponenten der Funktion \(g(x)= 3,7x^2-17x^{-1}+9\) sind 2 von \(3,7x^2\), −1 von \(-17x^{-1}\) und 0 von \(9x^0=9\cdot1=9\). Da −1 keine natürliche Zahl ist, handelt es sich nicht um eine ganzrationale Funktion.

Lösungsschritt für Teilaufgabe c.

     c.  \(h(x)=0,5x+2\)

Schritt 1: Betrachte die Exponenten

Die Exponenten der Funktion \(h(x)=0,5x+2\) sind 1 von \(0,5x=0,5x^1\) und 0 von \(2x^0=2\cdot1=2\). Alle Exponenten sind also natürliche Zahlen. Es handelt sich somit um eine ganzrationale Funktion.

Lösung

  1. \(f(x)=4x^4-2,5x^3-3x^2\)  ist eine ganzrationale Funktion.
  2. \(g(x)= 3,7x^2-17x^{-1}+9\)  ist keine ganzrationale Funktion.
  3. \(h(x)=0,5x+2\)  ist eine ganzrationale Funktion.
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