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Wie du Summen multiplizierst/Wie du zwei Klammern in einem Produkt auflöst


Aufgabe

Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen.

a) \((2-x)(x-3)\)

b) \((a+b-4)(a-3)\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) \((2-x)(x-3)\)

Schritt 1: Multipliziere die Klammern

Um die Klammern auszumultiplizieren, musst du jeden Ausdruck in der ersten Klammer mit jedem Ausdruck in der zweiten Klammer multiplizieren.

Da du 2 Ausdrücke in der ersten Klammer und 2 Ausdrücke in der zweiten Klammer hast, musst du also \(2 \cdot 2=4\)-mal multiplizieren. Denk dabei daran, die Vorzeichen (+/−) mitzunehmen. Sie gehören immer zur Zahl oder Variable, die nach dem Vorzeichen kommt.

Bei dieser Aufgabe multiplizierst du zuerst den ersten Ausdruck in der ersten Klammer mit dem ersten Ausdruck in der zweiten Klammer.

\((\color{red}2-\color{blue}x)(\color{green}x-\color{purple}3)=\)

\(\color{red}2\cdot\color{green}x\ ...\)     

Dann den ersten Ausdruck in der ersten Klammer mit dem zweiten in der zweiten Klammer.

\(\color{red}2\cdot\color{green}x+\color{red}2\cdot (\color{purple}{-3})\ ...\)   

Danach den zweiten Ausdruck in der ersten Klammer mit dem zweiten in der zweiten Klammer.

\(\color{red}2\cdot\color{green}x+\color{red}2\cdot (\color{purple}{-3})-\color{blue}x\cdot\color{green}x\ ...\)

Und zum Schluss den zweiten Ausdruck in der ersten Klammer mit dem zweiten in der zweiten Klammer.

\(\color{red}2\cdot\color{green}x+\color{red}2\cdot (\color{purple}{-3})-\color{blue}x\cdot\color{green}x-\color{blue}x\cdot(\color{purple}{-3})\)

Schritt 2: Verrechne die Vorzeichen

Jetzt musst du den Term noch zusammenfassen. Dafür verrechnest du zuerst die Vorzeichen.

\(2\cdot x\color{blue}+2\cdot (\color{red}-3)\color{red}-x\cdot x\color{red}-x\cdot(\color{red}- 3)=\)

\(2\cdot x\color{red}-2\cdot 3\color{red}-x\cdot x\color{blue}+x\cdot3\)

Schritt 3: Fasse Zahlen innerhalb eines Produkts zusammen

Nun kannst du Zahlen innerhalb eines Produkts zusammenfassen und die Zahlen vor die Variablen schreiben. Dabei kannst du den Malpunkt zwischen Zahl und Variable weglassen.

\(2\cdot x-\color{green}2\cdot\color{green} 3-x\cdot x+\color{brown}x\cdot\color{brown}3=\)

\(2 x-\color{green}6-x\cdot x+\color{brown}{3x}\)

Schritt 4: Fasse gleiche Variablen zu Potenzen zusammen

Dann fasst du gleiche Variablen zu Potenzen zusammen.

\(2x-6-\color{purple}x\cdot \color{purple}x+3x=\)

\(2 x-6-\color{purple}{x^2}+3x\)

Schritt 5: Addiere bzw. subtrahiere gleichartige Terme

Zum Schluss fasst du gleichartige Terme mit plus oder minus zusammen.

\(\color{blue}{2x}-6-x^2+\color{blue}{3x}=\)

\(\color{blue}{5x}-6-x^2\)                     

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) \((a+b-4)(a-3)\)

Schritt 1: Multpliziere die Klammern

Da hier in der ersten Klammer 3 Ausdrücke stehen und in der zweiten Klammer 2, musst du insgesamt \(2 \cdot 3=6\)-mal multiplizieren.

\((\color{red}a+\color{blue}b\color{green}{-4})(\color{purple}a\color{brown}{-3})=\color{red}a\cdot\color{purple} a+\color{red}a\cdot (\color{brown}{-3})+\color{blue}b\cdot \color{purple}a+\color{blue}b\cdot (\color{brown}{-3})\color{green}{-4}\cdot \color{purple}a\color{green}{-4}\cdot (\color{brown}{-3})\)

Schritt 2: Verrechne die Vorzeichen

Um den Term zusammenzufassen, verrechne wieder zuerst die Vor- und Rechenzeichen.

\(a\cdot a\color{blue}+a\cdot (\color{red}-3)\color{blue}+b\cdot a\color{blue}+b\cdot (\color{red}-3)\color{red}-4\cdot a\color{red}-4\cdot (\color{red}-3)=\)

\(a\cdot a\color{red}-a\cdot3\color{blue}+b\cdot a\color{red}-b\cdot 3\color{red}-4\cdot a\color{blue}+4\cdot 3\)

Schritt 3: Fasse Zahlen innerhalb eines Produkts zusammen

Multpliziere dann die Zahlen innerhalb eines Produkts. Schreibe die Zahlen vor die Variablen und ordne diese alphabetisch. Dabei kannst du den Malpunkt zwischen Zahl und Variable weglassen.

\(a\cdot a-a\cdot3+b\cdot a-b\cdot 3-4\cdot a+\color{green}{4\cdot 3}=\)

\(a\cdot a-3a+ab-3b-4a+\color{green}{12}\)

Schritt 4:Fasse gleiche Variablen zu Potenzen zusammen

Nun fasst du gleiche Variablen zu Potenzen zusammen.

\(\color{brown}{a\cdot a}-3a+ab-3b-4a+12=\)

\(\color{brown}{a^2}-3a+ab-3b-4a+12\)

Schritt 5: Addiere bzw. subtrahiere gleichartige Terme

Zum Schluss musst du noch gleichartige Terme mit plus oder minus zusammenfassen.

\(a^2-​ \color{purple}{3a}+ab-3b-\color{purple}{4a}+12=\)

\(a^2-​ \color{purple}{7a}+ab-3b+12\)

Lösung

a) \((2-x)(x-3)=5x-6-x^2\)

b) \((a+b-4)(a-3)=a^2-7a+ab-3b+12\)

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