Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 
Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du stochastische Unabhängigkeit prüfst

Aufgabe

Das Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen C und D. 

Wie du stochastische Unabhängigkeit prüfst - Abbildung 1

Weise nach, dass die Ereignisse C und D abhängig sind.

Schritt 1: Formel für die stochastische Unabhängigkeit ansetzen

Die Bedingung für die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse C und D lautet:

\(\color{green} {P(C\cap D)=P(C)\cdot P(D) }\)

Um diese Bedingung prüfen zu können, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(C\cap D)\), \(P(C) \)und \(P(D)\) gebraucht. Dabei ist \(P(C\cap D)=\frac{2}{5}\) schon gegeben.

Schritt 2: Fehlende Wahrscheinlichkeiten ausrechnen

Zuerst bestimmen wir \(P(\text{C})\). Die Wahrscheinlichkeit des oberen Pfades \(\text{"C-D"}\) ist mit \(\frac{2}{5}\) angegeben. Zudem kennen wir die Wahrscheinlichkeit, dass D eintritt, wenn vorher C eingetreten ist, nämlich \(\frac{3}{5}\). Nach der Pfadmultiplikationsregel ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfads das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten, die entlang des Pfades auftauchen, in unserem Fall also:

\(\frac{2}{5}=P(\text{C})\cdot\frac{3}{5}\)

Auflösen nach \(P(\text{C})\) liefert:

\(P(\text{C})=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{2}{3}\)

Nun zu \(P(\text{D})\): Diese Wahrscheinlichkeit ist nach der Pfadsummenregel die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die mit D enden, also der zwei Pfade \(\text{"C-D"}\) und \(\text{"}\overline{\text{C}}\text{-D"}\).

Diese beiden Pfadwahrscheinlichkeiten sind angegeben: \(P(\text{"C-D"})=P(\text{C}\cap \text{D})=\frac{2}{5}\) und \(P(\text{"}\overline{\text{C}}\text{-D}")=P(\overline{\text{C}}\cap \text{D})=\frac{1}{10}\).

Also ist:

\(P(\text{D})=P(\text{C}\cap \text{D})+P\left(\overline{\text{C}}\cap \text{D}\right)=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}\)

Jetzt sind alle Größen bekannt, die in der grünen Formel auftauchen. Setzt man die gerade berechneten Zahlenwerte für \(P(\text{C})\)\( P(\text{D})\) und \(P(\text{C}\cap \text{D})\) dort ein, so ergibt sich die Gleichung:

\(\frac{2}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\)

Die rechte Seite ist aber \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}\). Daher ist die grüne Gleichung nicht erfüllt und die Ereignisse C und D sind somit stochastisch abhängig.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!
Deine Vorteile
  • Bessere Noten mit über 10.000 Lerninhalten in 9 Fächern
  • Originalklassenarbeiten, Musterlösungen und Übungen
  • NEU: Persönliche WhatsApp-Nachhilfe

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Next

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier