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Wie du Standardfunktionen integrierst


Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \( f(x)=\sin(\pi\cdot x)\) für \(0\leq x\leq 1\).

Der Graph von \(f\) begrenzt mit der \(x\)-Achse eine Fläche mit Inhalt \(A\).

Berechne \(A\) exakt.

Schritt 1: Typ des Integranden feststellen, Stammfunktion finden

Wie du Standardfunktionen integrierst - Abbildung 1

Die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse ist gegeben durch das Integral

\(\begin{align*}A=\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x\end{align*}\),

wobei \(a\) und \(b\) die beiden Schnittstellen von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse sind (hier bei \(x=0\) und \(x=1\)). Der Integrand (also die Funktion \(f\), die integriert wird) ist in diesem Fall eine trigonometrische Funktion.

Stammfunktionen der gängigsten Funktionen finden sich in Formelsammlungen, etwa die folgende Auswahl:

Funktion

Stammfunktion

\(x^n\)

\(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\) (für \(n\neq -1\))

\(\frac{1}{x}\)

\(\ln|x|\)

\(\ln x\)

\(x\cdot\ln x-x\)

\(e^x\)

\(e^x\)

\(\sin x\) bzw. \(\cos x\)

\(-\cos x\) bzw. \(\sin x\)

Die allergängigsten musst du (zumindest in Baden-Württemberg) auswendig wissen, nämlich die Stammfunktionen von Potenzen (\(x^n\)), der Exponentialfunktion (\(e^x\)) und der trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus).

Im vorliegenden Fall musst du dir aus der Stammfunktion des Sinus eine Stammfunktion von \(f\) basteln. Dazu brauchst du die Regel der linearen Substitution:

Hat man eine Stammfunktion G einer Funktion \(x\longmapsto g(x)\) und möchte eine Stammfunktion von \(x\longmapsto g(ax+b)\), so nehme man \(x\longmapsto\frac{1}{a}G(ax+b)\).

Auf unseren Fall übertragen heißt das: Wir wissen, dass \(G(x)=-\cos x\) eine Stammfunktion von \(g(x)=\sin x\) ist, aber bei \(f(x)=\sin(\pi\cdot x)\) wird das \(x\) noch mit dem Faktor \(\pi\) multipliziert. Um das auszugleichen, teilt man die Stammfunktion \(G\) durch den Vorfakor \(\pi\) und setzt außerdem \(\pi\cdot x \) statt \(x\) in \(G\) ein: \(F(x)=\frac{1}{\pi}G(\pi\cdot x)=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi\cdot x)\) ist also eine Stammfunktion von \(f\).

Schritt 2: Integrationsgrenzen einsetzen und rechnen

Die vorgegebenen Grenzen des Definitionsbereichs von \(f\), also \(x=0\) und \(x=1\), sind die Schnittstellen von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse, denn \(f(0)=\sin(\pi\cdot 0)=\sin(0)=0\) und \( f(1)=\sin(\pi\cdot 1)=\sin(\pi)=0\).

Also ist die gesuchte Fläche gegeben durch:

\(\begin{align*} A=\int\limits_0^1\sin(\pi\cdot x)\mathrm{d}x \end{align*}\)

Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung kann man diesen Ausdruck folgendermaßen berechnen: Man setzt zuerst die obere Integrationsgrenze (hier 1) in die oben gefundene Stammfunktion ein und berechnet \(F(1)\). Davon zieht man dann den Wert an der unteren Grenze ab, d. h.:

\(\begin{align*} \color{green} {\int\limits_0^1\sin(\pi\cdot x)\mathrm{d}x=F(1)-F(0)} \end{align*}\)

Für die Differenz \(F(1)-F(0)\) schreibt man oft \(\left[F(x)\right]_0^1\).

In unserem Fall ist \( F(1)=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi\cdot 1)=-\frac{\cos(\pi)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\), denn \(\cos(\pi)=-1\).

Des Weiteren ist \(F(0)=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi\cdot 0)=-\frac{\cos(0)}{\pi}=-\frac{1}{\pi}\), denn \(\cos(0)=1\).

Also ist laut der grünen Formel:

\(\begin{align*} \int\limits_0^1\sin(\pi\cdot x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}-\left(-\frac{1}{\pi}\right)=\frac{2}{\pi} \end{align*}\)

Die Fläche, die der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt, beträgt also \(\frac{2}{\pi}\) Flächeneinheiten.
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