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Wie du Sinus- und Kosinusfunktionen ableitest


Aufgabe

Bestimme die Ableitungen folgender Funktionen:

a)  \(f(x)=2sin(\frac{1}{2}x+\pi)-1\)

b)  \(f(x)=-3cos(2x+\pi)+0,5\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a)  \(f(x)=2sin(\frac{1}{2}x+\pi)-1\)

Schritt 1: Wende die Faktorregel an

Der Vorfaktor 2 wird beim Ableiten einfach abgeschrieben. Die 1. Ableitung beginnt also mit \(f'(x)=2 ...\)

Schritt 2: Wende die Kettenregel an

Um den Term \(sin(\frac{1}{2}x+\pi)\) abzuleiten, brauchst du die Kettenregel. Dabei wird erst die äußere Funktion, hier also \(sin(...)\), abgeleitet und die innere Funktion \(\frac{1}{2}x+\pi\) abgeschrieben.

Die Ableitung der Grundfunktion \(sin(x)\) ist \(cos(x)\).

Damit ergibt sich erst mal: \(f'(x)=2cos(\frac{1}{2}x+\pi)...\) 

Nun muss bei der Kettenregel noch nachdifferenziert werden, das heißt, dass dieser Ausdruck mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird. Die Ableitung der inneren Funktion \(\frac{1}{2}x+\pi\) ist \(\frac{1}{2}\). Du erhältst also vorerst:

\(f'(x)=2cos(\frac{1}{2}x+\pi)\cdot\frac{1}{2}...\)

Indem du die Faktoren so vertauschst, dass alle Zahlen vorn stehen, ergibt sich:

\(f'(x)=2\cdot\frac{1}{2}cos(\frac{1}{2}x+\pi)...\), also gekürzt:

\(f'(x)=cos(\frac{1}{2}x+\pi)...\)

Schritt 3: Wende die Regel zur Ableitung von Konstanten an

Zahlen, die mit der restlichen Funktion addiert bzw. subtrahiert werden, wie in diesem Fall die 1 am Ende der Funktion \(f(x)=2sin(\frac{1}{2}x+\pi)-1\), werden beim Ableiten weggelassen.

Die Lösung lautet also:

\(f'(x)=cos(\frac{1}{2}x+\pi)\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b)  \(f(x)=-3cos(2x+\pi)+0,5\)

Schritt 1: Wende die Faktorregel an

Der Vorfaktor wird wieder abgeschrieben. Es ergibt sich also erst mal:

\(f'(x)=-3 ...\)

Schritt 2: Wende die Kettenregel an

Bei dem Term \(cos(2x+\pi)\) ist die äußere Funktion \(cos(...)\).

Die Ableitung der Grundfunktion \(cos(x)\) ist \(-sin(x)\).

Es ergibt sich damit: \(f'(x)=-3(-sin(2x+\pi))...\)

Nun müssen wir noch nachdifferenzieren. Es ergibt sich also:

\(f'(x)=-3(-sin(2x+\pi))\cdot2 ...\)

Vereinfacht lautet der Term:

\(f'(x)=6sin(2x+\pi)...\)

Schritt 3: Wende die Regel zum Ableiten von Konstanten an

Kostanten fallen beim Ableiten weg. Damit lautet die Lösung:

\(f'(x)=6sin(2x+\pi)\)

Lösung

a) \(f'(x)=cos(\frac{1}{2}x+\pi)\)

b) \(f'(x)=6sin(2x+\pi)\)

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