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Wie du Schnittpunkte zweier ganzrationaler Funktionen bestimmst


Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der ganzrationalen Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=x^3-2x^2+x+2\) und \(g(x)=3x^2-x-6\).

Schritt 1: Setze die Funktionsterme gleich

Damit du die Schnittpunkte der Funktionen \(f\) und \(g\) angeben kannst, musst du die Stellen bestimmen, an denen die Funktionen \(f\) und \(g\) dieselben Funktionswerte besitzen. Also muss dort \(f(x)=g(x)\) gelten.

\(f(x)= g(x) \Rightarrow x^3-2x^2+x+2=3x^2-x-6\)

Schritt 2: Bestimme die Lösungen der Gleichung

Die Gleichung löst du, indem du sie so umstellst, dass du auf einer Seite nur noch eine Null stehen hast.

\(x^3-2x^2+x+2=3x^2-x-6\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^3-5x^2+2x+8=0\)

Du erhältst eine Gleichung dritten Grades. Da die Gleichung ein konstantes Glied besitzt, musst du die ersten Lösungen mit der Polynomdivision bestimmen.

Die allererste Lösung musst du dafür durch geschicktest Einsetzen ermitteln, sozusagen "erraten". Mögliche Lösungen sind alle Teiler des konstanten Gliedes, also alle Teiler von 8. Infrage kommen:

\(\pm1;\ \pm2;\ \pm4;\ \pm8\)

Wenn du mit +1 anfängst, wirst du schnell feststellen, dass \(x_1=-1\) eine Lösung ist:

\((-1)^3-5 \cdot(-1)^2+2\cdot (-1)+8=-1-5-2+8=0\)

Polynomdivision:

\((x^3-5x^2+2x+8):(x+1)= x^2-6x+8\)

Die weiteren Lösungen erhältst du mit der p-q-Formel aus der Gleichung \(x^2-6x+8=0\).

\(\Rightarrow x_{2/3}=3 \pm1\)

\(\Rightarrow x_2=4;\ x_3=2 \)

Schritt 3: Bestimme die Schnittpunkte

Da du die Schnittpunkte bestimmen musst, fehlen dir noch die Funktionswerte, also die y-Werte, zu den Lösungen aus Schritt 2. Die Funktionswerte berechnest du, indem du die Lösungen in die Funktionsgleichung von \(f\) oder \(g\) einsetzt. Also:

\(g(-1)=f(-1)= (-1)^3-2 \cdot (-1)^2+(-1)+2=-1-2-1+2=-2\)

\(g(4)=f(4)= 4^3-2 \cdot 4^2+4+2=64-32+4+2=38\)

\(g(2)=f(2)= 2^3-2 \cdot 2^2+2+2=8-8+2+2=4\)

Somit lauten die gesuchten Schnittpunkte:

\(S_1(-1|-2); \ S_2(4|38); \ S_3(2|4)\)

Lösung

Die Schnittpunkte der Funktionen \(f\) und \(g\) lauten \(S_1(-1|-2)\), \(S_2(4|38)\) und \(S_3(2|4)\).

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