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Wie du rekursive Folgen explizit beschreibst


Aufgabe

Eine Werkzeugmaschine unterliegt bei einem Neuwert (\(K\)) von 24.000 € pro Jahr einer Abschreibung von \(p=12{,}5\,\%\). Was sie nach n Jahren noch wert ist, bezeichnet man als Zeitwert (\(Z_n\)).

a) Begründe, dass \(Z_n=K\cdot(1-p)^n\) ist.

b) Berechne den Zeitwert nach 5 Jahren.

Schritt 1: Formel begründen

Gegeben ist eine Rekursionsformel zur Berechnung des Zeitwertes. Sie lautet für jeden Jahreswechsel

\(\text{neuer Wert}=\text{alter Wert}-p\cdot\text{alter Wert}\).

Gesucht ist zunächst eine Begründung, warum man die Formel für den Wert nach n Jahren auch ohne Bezug auf den Wert nach \(n-1\) Jahren direkt als

\(Z_n=K\cdot(1-p)^n\)

schreiben kann.

Zu Beginn (also nach 0 Jahren) beträgt der Wert der Maschine (in Euro) \(K=24.000\). Jedes Jahr verringert sich der Wert um \(p=12{,}5\,\%\), d. h. es bleibt noch ein Restwert von 87,5 % des Wertes vom Vorjahr (\(100\,\%-12{,}5\,\%=87{,}5\,\%\); wird der Anteil p abgezogen, so bleibt der Anteil \(1-p\) übrig).

Somit ist der Wert nach 1 Jahr (in Euro)

\(Z_1=K\cdot(1-p)=K\cdot(1-p)^{\color{green}{1}}\).

Davon bleibt nach einem weiteren Jahr der Anteil \(1-p=87{,}5\,\%\) übrig, d. h. der Wert nach \(\color{green}{2}\) Jahren (in Euro) ist

\(Z_2=Z_1\cdot (1-p)=K\cdot(1-p)\cdot(1-p)=K\cdot(1-p)^\color{green}{2}\).

Mit jedem weiteren Jahr ein weiteres Mal der Anteil (\(1-p\)) dieser Größe genommen, um den nächsten Zeitwert zu berechnen. Nach \(\color{green}{n}\) Jahren landet man bei

\(\color{maroon}{Z_n=K\cdot(1-p)^{\color{green}{n}}}\).

Diese Formel gilt auch für \(n=0\), denn \((1-p)^0=1\), also ist \(Z_0=K\cdot(1-p)^2=K \) der Anfangswert, wie gewünscht.

Schritt 2: Werte einsetzen und berechnen

Um den Wert der Maschine nach 5 Jahren zu berechnen, musst du in die braune Formel \(K=24000\), \(n=5\) und \(p=12{,}5\,\%=0,125\) einsetzen. Du bekommst

\(Z_n=K\cdot(1-p)^n=24000\cdot(1-0{,}125)^5=24000\cdot(0{,}875)^5\).

Dafür liefert der Taschenrechner den Näherungswert

\(24000\cdot(0{,}875)^5\approx12309{,}81\).

Lösung

Also ist die Maschine nach 5 Jahren noch etwa 12.309,81 € wert.

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